课时跟踪检测(六十)　定点、定值、探索性问题

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1、课时跟踪检测(六十)　定点、定值、探索性问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆C过点M，点F(－，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且

2、PF

3、，

4、MF

5、，

6、QF

7、成等差数列．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.2.(2013·济南模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(2，)．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC·kBD＝－.求证：四边形ABCD的面积为

8、定值．3.(2013·北京东城区期末)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(－，0)，(，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(－1,0)且与曲线C交于A，B两点．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)△AOB的面积是否存在最大值，若存在，求出△AOB的面积的最大值；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷：提能增分卷1.已知椭圆C：＋＝1，点F1，F2分别为其左、右焦点，点A为左顶点，直线l的方程为x＝4，过点F2的直线l′与椭圆交于异于点A的P，Q两点．(1)求·的取值范围；(2)若AP∩l

9、＝M，AQ∩l＝N，求证：M，N两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值．2.(2013·合肥模拟)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1(0＜m2＜3)有公共的焦点，过椭圆E的右顶点R任意作直线l，设直线l交抛物线y2＝2x于M，N两点，且OM⊥ON.(1)求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证

10、明你的结论．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为＋＝1，可知

11、PF

12、＝＝＝2＋x1，同理

13、QF

14、＝2＋x2，

15、MF

16、＝＝2＋，∵2

17、MF

18、＝

19、PF

20、＋

21、QF

22、，∴2＝4＋(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2.(ⅰ)当x1≠x2时，由得x－x＋2(y－y)＝0，∴＝－·.设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝＝－，得线段PQ的中垂线方程为y－n＝2n(x－

23、1)，∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点A.(ⅱ)当x1＝x2时，P，Q或P，Q，线段PQ的中垂线是x轴，也过点A.综上，线段PQ的中垂线过定点A.2．解：(1)由题意e＝＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0,①由根与系数的关系得∵kAC·

24、kBD＝－＝－，∴＝－，∴y1y2＝－x1x2＝－·＝－.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2＋km＋m2＝，∴－＝，∴－(m2－4)＝m2－8k2，∴4k2＋2＝m2.设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB＝

25、AB

26、·d＝·

27、x2－x1

28、·＝＝＝＝2，∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝8，即四边形ABCD的面积为定值．3．解：(1)由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．故曲线C的轨迹方程为＋y2＝1.(

29、2)△AOB的面积存在最大值．因为直线l过点E(－1,0)，所以可设直线l的方程为x＝my－1或y＝0(舍)．由整理得(m2＋4)y2－2my－3＝0，Δ＝(2m)2＋12(m2＋4)＞0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1＞y2.解得y1＝，y2＝.则

30、y2－y1

31、＝.因为S△AOB＝

32、OE

33、·

34、y1－y2

35、＝＝.设t＝，t≥，g(t)＝t＋，则g′(t)＝1－，故当t≥时g′(t)＞0恒成立，则g(t)在区间[，＋∞)上为增函数，所以g(t)≥g()＝.所以S△AOB≤，当且仅当

36、m＝0时取等号．所以S△AOB的最大值为.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)①当直线PQ的斜率不存在时，由F2(1,0)可知PQ的方程为x＝1，代入椭圆C：＋＝1，得点P，Q，又点A(－2,0)，故＝，＝，·＝.②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入椭圆C：＋＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝k2(x1－1)·(x2－1)＝k2(－x1－x2＋x1x2＋