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1、考点11定点、定值、探索性问题221.(15泰州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:a一b一直线〉b〉0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,0两点,PA,0A分别与y轴交于M,2V两点.芯直线斜率为I时,PQ=2礼(1)求椭圆C的标准方程;(2)试问以AW为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)?谘证明你的结论.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.ZXQ^~X0•.•S线PG斜率为f时,PO=y/i.,,72••x()+1丁x()3,•••又02=2,
2、=1,.21..~7^—7:1,a2b27eHU,化aa1a2二、2~2
3、i[ci联立•••“2=4,b2=2.22•••椭圆C.准方程巧+f=L(2)以AW为fi径的呦过定点~士W,0).下面给川证明:22设P(x0,乂)),则G(—xo,—凡),且+=即义o+2),o2=4•••A(―2,0),•••直线PA方程为:y>0x0+2(x+2),:.M:.N0,2外x0+2,直线2A方程为:y=^-(%+2),x0-20,2>’()%0-22),o2凡即f+戸^L=0-4vxG2-4以A//V为—It[社的圆为(x—0)(%—0)+y
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5、y2—1=0•••V_4=-2%,2xA+y"+—一2=0,令)=0,x2—2=0,解得%=士,.•.以M/
6、V为直径的圆过定点221.(15淮安市金湖屮学高三上学期第一次学情检测数学试卷)已知椭圆£::L+2L=1的84左焦点为F,左准线/与x轴的交点足岡C的岡心,闘C恰好经过坐标原点O,设G是岡C上任意一点.(1)求圆C的方程;(2)若直线FG与直线/交于点7,且G为线段厂7的屮点,求直线FG被圆C所截得的弦长;GF1GP2明理由.【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.(3)在平而上是否存在一点P,使得一=-?若存在,求出点/>处标;若不存在,请说【解】(1)•••“=2^2,b=2c=22•••左准线方程为4c•••岡心为(一4,0)Y圆C恰好经过处标原点O故半径为4
7、•••圆C的方程为(x+4)2+/=16(2)由题意知,得(7(—3,),代入(x+4)2+y2=16,得尸土a/T?所以FG的斜率为FG的方程为y=±A/E(x+2)所以C(—4,0)到R7的距离参直线R?被圆C截得弦长为2A/l6-(^)2二72V2故直线FG被圆C截得弦长为7.(3)设尸G,r),G(x0,),0),则由整理得3(%02+y02)+(16+2s)xq+2ty,+16~s2~t2=0①又G(x0,:y0)在圆C:(x+4)2+)’2=16上,所以x02+y02+8x0=0②②代入①得(2r8)x0+2ty0+16-52-Z2=0乂G(X。,)力圆C上任
8、意一点可知,2,y—8=0,2z=0,16-$2_f2二0解得尸4,z=0.所以在平面上存在一点P,其华标为(4,0).1.(15江阴市高三上学期月考数学试卷)在平酣直角华标系屮,己知圆C,:(x+3)2+),2二4和圆C2:(x-4)2+(y-4)2=4.(1)若直线/过点A(4,一1),.R.被岡q截得的弦长为2人,求直线/的方程;(2)是否存在一个定点P,使过P点有无数条直线/与圆q和圆C/都相交,JLL/被两圆截得的弦长相等,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程.【解】(1)由于莨线%=4与圆(^不相交,所以直
9、线/的斜率存在.设直线,的方程为—4)—1,iMiq的岡心到/的距离为A则由6/2=人2-h/i)2得卵点殖线鵬公式得心與’从而“则)=0.所以或724,所以直线/的方程为1或7x+24y-4=0-(2)假设存在,设/XP的少标为P(6/,/?),/的方程为y—b=k(a•—6/),因为圓Ci和圆C2-3k+b-cik4k-4-^-b-ak小+k2小+k2的半径相等,被/截得的弦长也相等,所以關CJU岡<32到/的距离相等,即,整理得:(14a-7)k2-(8a+14*-32)k+8W6=0,因为A的个数柯无数多个,所以,14“-7=01a-—28f/+14/?-32
10、=:0,解得<8/7-16=0b=2综上所述,存在满足条件的定点P,且点P的坐标为尸(^,2).1.(15江阴市高三上学期月考数学试卷)在平面直角也标系xOy中,椭圆£:+4=1>/?>0)的右准线为且线/,动且线尸fcr+m(々<0,m〉0)交椭圆于A,B两点,线段的屮点为M,射线分别交椭圆及直线/于P,0两点,如图.若A,B两点分别是椭岡£的右顶点,上顶点时,点0的纵坐标为1(其中e为椭圆的离心率),KOQ=y[5OM.e(1)求椭圆£的标准方程;YYI(2)如果OP是OM,00的等比屮项,那么一是否为常数?若是,求出该常