定点、定值与存在性问题(教师)

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1、例1　(1)已知椭圆x2＋3y2＝5，直线l：y＝k(x＋1)与椭圆相交于A，B两点．①若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；②在x轴上是否存在点M(m,0)，使·的值与k无关？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解析】　①依题意，直线AB的斜率存在，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设则由线段AB中点的横坐标是－，得＝－＝－，解得k＝±，适合①.所以直线AB的方程为x－y＋1＝0，或x＋y＋1＝0.②假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．由①知x1＋x2＝－，x1x2＝.③

2、所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.将③代入，整理得：·＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.注意到·是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－，此时·＝.综上，在x轴上存在定点M，使·为常数．(2)已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB.(其中O为坐标原点)求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．【解析】　由消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)

3、＝0.由Δ＝(－2a2)2－4a2(a2＋b2)(1－b2)>0，整理得a2＋b2>1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∴y1y2＝(－x1＋1)(－x2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1.∵OA⊥OB(其中O为坐标原点)，∴x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.∴－＋1＝0.整理得a2＋b2－2a2b2＝0.由a2＋b2－2a2b2＝0，得＋＝1，则不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点.思考题1　(1)(2012·福建)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e

4、＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.①求椭圆E的方程；②设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解析】　①因为

5、AB

6、＋

7、AF2

8、＋

9、BF2

10、＝8，即

11、AF1

12、＋

13、F1B

14、＋

15、AF2

16、＋

17、BF2

18、＝8，又

19、AF1

20、＋

21、AF2

22、＝

23、BF1

24、＋

25、BF2

26、＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1.所以b＝＝.故椭圆E的方程是＋＝1.②由消去y，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋

27、4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P(－，)．由得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．因为＝(－－x1，)，＝(4－x1,4k＋m)．由·＝0，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0.整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x

28、1＝1.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(2)(2013·山西四校联考)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足·＝1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．①求P点坐标；②求证直线AB的斜率为定值；③求△PAB面积的最大值．【解析】　①由题意，F1(0，)，F2(0，－)，设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则＝(－x0，－y0)，＝(－x0，－－y0)．∴·＝x－(2－y)＝1.∵P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，∴x＝，从而－(2－y)＝1，得y0＝，易知x0＝1.

29、∴点P的坐标为(1，)．②由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在．设直线BP的斜率为k(k>0)，则直线BP的方程为y－＝k(x－1)．由消去y，得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则1＋xB＝，xB＝－1＝.同理可得xA＝.∴xA－xB＝，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝.∴kAB＝＝为定值．③由②可设直线AB的方程为y＝x＋m.联立方程，得消去y得4x2＋2mx＋m2－4＝0.由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2

30、AB

31、＝，∴S△PA

32、B＝

33、AB

34、·d＝·＝≤＝，当且仅当m