北师大版(文科数学)第九章第10讲定点、定值、探索性问题名师精编单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[学生用书P326(单独成册)]x2－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两1．(2018郑·州质量预测(一))已知直线l与双曲线4条渐近线交于→→M，N两点，则OM·ON的值为()A．3B.4C．5D．与P的位置有关解析选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x02－4y02＝4，则直线l的方程是x0x1－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.42x＝2x＝2→→①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由2，得＝y＝±1，此时OM·ONx－y2＝

2、04(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线→→l的方程是x＝－2时，OM·ON＝3.1y＝1（x0x－4）4y0222②当y0≠0时，直线l的方程是y＝4y0(x0x－4)．由2，得(4y0－x0)x＋x－y2＝048x0x－16＝0(*)，又x20－4y20＝4，因此(*)即是－4x2＋8x0x－16＝0，x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，→→13OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.44→→综上所述，OM·ON＝3，选A.2．(2018湖·南湘中名校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在→→→＋1＝_______

3、_．抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则则1＋1kABkACkBC解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Fp，0→→→，得y1＋y2＋y32，由FA＋FB＝－FC＝0.因为y2－y12p2p2p111y1＋y2AB＝x2－x1＝y1＋y2，所以AC＝y1＋y3，BC＝y2＋y3，所以kAB＋kAC＋kBC＝2p＋y3＋y1y2＋y3＋＝0.2p2p答案03．已知圆Mx2＋(y－2)2＝1，直线ly＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；→→(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证直线AB

4、恒1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯过定点．解(1)设P(x，y)，则x2＋（y－2）2＝(y＋1)＋1?x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)证明易知直线AB的斜率存在，设直线ABy＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8x－8b＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝－8b.→→x12x222＝－16?b＝4，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b64所以直线AB恒过定点(0，4)．223，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过x2y2P点4．椭圆Ca＋b＝1

5、(a>b>0)的离心率为54→→＝－41斜率为的直线l交C于A，B两点．当m＝0时，PA·PB2.5(1)求椭圆C的方程；(2)证明

6、PA

7、2＋

8、PB

9、2为定值．解(1)因为离心率为35，b4所以＝.a5当m＝0时，l的方程为y＝4x，5x2y22＝a2.代入2＋2＝1并整理得x2ab设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，→→2241241a2PA·PB＝－x0－y0＝－25x0＝－·.252→→41，又因为PA·PB＝－2所以a2＝25，b2＝16，椭圆C的方程为x2＋y2＝1.25165(2)证明l的方程为x＝4y＋m，代入x2＋y2＝1，2516并整理得25y2＋20my＋8(m

10、2－25)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则

11、PA

12、2＝(x1－m)2＋y21＝41y21，162⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2412同理

13、PB

14、＝16y2.则

15、PA

16、2＋

17、PB

18、2＝41(y21＋y22)＝41[(y1＋y2)2－2y1y2]＝41·－4m2－16（m2－25）＝41.161616525所以

19、PA

20、2＋

21、PB

22、2为定值．1．(2018·沙模拟长)如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ过定点B(1，0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．(1

23、)求证

24、EA

25、＋

26、EB

27、为定值；(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明

28、EB

29、·

30、FQ

31、＝

32、FB

33、·

34、EQ

35、.证明(1)设AE切圆Γ于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，故

36、EM

37、＝

38、EB

39、.从而

40、EA

41、＋

42、EB

43、＝

44、AM

45、＝

46、AP

47、2－

48、PM

49、2＝

50、AP

51、2－

52、PB

53、2＝

54、AN

55、2－

56、BN

57、2＝25－9＝4.所以

58、EA

59、＋

60、EB

61、为定值4.(2)由(1)同理可知

62、FA

63、＋

64、FB

65、＝4，22故E，F均在椭圆x＋