北师大版高中数学最值、范围、证明问题名师精编检测卷.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最值、范围、证明问题[授课提示：对应学生用书第270页]2A，B关于直线y＝mx＋1对称．1．(2015浙·江卷)已知椭圆x＋y2＝1上两个不同的点22(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解析：(1)由题意知2x2＋y2＝1，由1y＝－mx＋b，1m≠0，可设直线AB的方程为y＝－mx＋b.1122b2－1＝0.消去y，得＋m2x－x＋b2m因为直线y＝－1x22有两个不同的交点，所以＝－2b22＋4x＋b与椭圆＋y＝1＋2＞0，m2m①22m

2、b2＋2将线段AB中点M，mb，代入直线方程y＝mx＋2＋221解得b＝－m2.②mm＋222m由①②得m＜－6或m＞633.(2)令t＝1∈－6，0∪0，6，则m22－2t4＋2t2＋3

3、AB

4、＝t2＋1·t2＋12，2t2＋1且O到直线AB的距离d＝2t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝1

5、AB

6、d·＝1－2t2－12＋2≤2，2222当且仅当t2＝1时，等号成立．2故△AOB面积的最大值为22.2．已知定圆M：(x＋3)2＋y2＝16，动圆N过点F(3，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关

7、于原点对称，且

8、AC

9、＝

10、CB

11、，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．解析：(1)易知点F(3，0)在圆M：(x＋3)2＋y2＝16内，∴圆N内切于圆M，又圆M1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯的半径为4，∴

12、NM

13、＋

14、NF

15、＝4，又

16、FM

17、＝23＜4，2∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝3，所以b＝1，所以轨迹E的方程为x＋y2＝1.4(2)(ⅰ)当AB为椭圆E的长轴(或短轴)时，依题意知，点C可为椭圆的上、下顶点(或左、1右顶点)，此时S△ABC＝2×

18、OC

19、×

20、AB

21、＝2.2(ⅱ)当直线AB的斜率

22、存在且不为0时，设其为k，则直线AB的方程为y＝kx，由xA224＋yA＝1，解得xA2＝42，yA2＝4k2，yA＝kxA1＋4k1＋4k222241＋k所以

23、OA

24、＝xA＋yA＝2.由

25、AC

26、＝

27、CB

28、知，△ABC为等腰三角形，又O为AB的中点，1所以OC⊥AB，所以直线OC的方程为y＝－kx，xC224＋yC＝1，24k224由＝－1xC解得xC＝k2＋4，yC＝k2＋4，yCk241＋k2∴

29、OC

30、＝k2＋4，∴S△ABC＝2S△OAC＝

31、OA

32、×

33、OC

34、＝41＋k241＋k241＋k2，2·2＝1＋4kk＋41＋4k2k2＋4由于1＋4k221＋4k2＋k2＋4＝

35、51＋k2，k＋4≤22822所以S△ABC≥5，当且仅当1＋4k＝k＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积取最8小值，是.5因为2＞8，所以△ABC面积的最小值为8，55此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.3．(2016·苏，江22,10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．解析：(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为p2，0，由

36、点p，0在直线l：x－y－2＝0上，得p－0－2＝0，222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.y2＝2px，消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)①由y＝－x＋b＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y≠y，从而12简得p＋2b>0.方程(*)的两根为

37、y1,2＝－p±p2＋2pb，y1＋y2从而y0＝＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<4.43因此，p的取值范围是0，3.x2y24．(2016山·东，21,14分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心ab32率是2，抛物线E：x＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；