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《课时跟踪检测(五十三)最值、范围、证明问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课时跟踪检测（五十三）最值、范围、证明问题一保高考，全练题型做到高考达标1.（2015•贵阳期末）已知椭圆C的两个焦点是（（）,—萌）和（0,萌），并且经过点1）AJ=4^4+16A2+16-4A4>0,Xl+X2=2+寻,XiX2=l.抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.（1）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（2）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线人，/2,厶交抛物线E于点B,&交抛物线E于点G,H,求花•而的最小值.22解：⑴设椭圆C的标准方程为牙+护=l（“>b>0）,焦距为2c,则由题意得c=芋,2a=寸扌+（1+帀）2+寸扌+（1-萌）2=4,••・“=2,b2
2、=a2-c2=1,2・•・椭圆C的标准方程为，宀1・・••右顶点F的坐标为（1,0）.设抛物线E的标准方程为y2=2px（p>0）,・•・£=l,2p=4,.*•抛物线E的标准方程为y2=4x.（2）设厶的方程：y=k（x-l）,厶的方程：/（Xl，H）,B（X2，72），G（X3，必），H（X4，为）・消去丿得：k2x2-(2k2+4)x+k2=Q,同理X3+X4=4k2+2,X3X4=1,•••AG・HB=(AF+FG)•(HF+FB)=~AF•丽+AF•而+~FG•丽+~FG•而-AF-~FB+FG-7dF=
3、X
4、+ll*lx2+II+IX3+11*1X4+II=(X1
5、X2+Xi+X2+1)+(XyX4+X3+X4+1)=8+刍+4疋4c■—■当且仅当p=4A2,即&=±1时，AG・HB有最小值16.2・(2015•福超高考)已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点力(2,加)在抛物线E上，且L4F1=3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点(7(-1,0),延长力尸交抛物线£于点〃，证明：以点F为圆心且与直线G4相切的圆，必与直线GB相切.解：⑴由抛物线的定义得L4FH2+纟因为AF=3,即2+纟=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x・⑵法一：因为点力(2,加)在抛物线£:y2=4xJi,所以m=±2y[i・由抛物线的对称性，不
6、妨设昇⑵2^2).由4(2,2迄),F(l,0)可得直线MF的方程为y=2y/2(x-l)・由
7、j=2V2(x-l),V2=4x,_5x+2=0,解得x=2或x=*,从而〃伶-迈).所以kGA=2^2-0_2^/22-(-1)=32^23，所以kGA+kGB=0,从而ZAGF=ZBGF,这表明点F到直线G4,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二：设以点F为圆心且与直线G4相切的圆的半径为几因为点A(2,/w)在抛物线E:于二低上，所以m=±2y[2・由抛物线的对称性，不妨设/(2,2迄)・由4(2,2血,F(l,0)可得直线/F的方程为y=2[2(x-1)
8、.y=2y/2(x-1),y2=4x,得2?_5x+2=0,解得x=2或x=£,从而〃伶-迈)・又G(-1,O),故直线GA的方程为2伍-3丁+2返=0,而F=I_/yJ17又直线G〃的方程为2伍+3丁+2迄=0,所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线G/相切的圆必与直线GB相切.3・如图所示，已知直线/过点M(4,0)且与抛物线y2=2px(p>0)交于/,B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.(1)求抛物线的标准方程；(2)设0是直线x=—4上任意一点，求证：直线少，QM,03的斜率依次成等差数列.解：⑴设直线/的方程为"幼+4,代入y2-2px得y2-2kpy一8卩=0
9、・设a(xv必)，Bg，j2)，则有yi+yi=jij2=一切，而OA・OB=0,故0=xix2+y^2=(kyi+4)(切2+4)-8p=心也+4&仙+力)+16-8p,即0=-Sk2p+8k2p+16-8p,得p=2,所以抛物线方程为y2=4x・(2)设0(-4,0由⑴知yx+y2=4A,yjy2=-16,所以Ji+yl=(F1+J?2)2-2加2=16A2+32._t4©[_/)丁2_/形_/4©2_0.t石r+16,統厂心广石心旷三，(ri+16)0纟+16)所以《"+尬=鬻#+普节=4少厂対；1段忙妙+16)d纟+1⑪i-厨-16/++16j，2-朋-16/y^yl+16(pJ+y
10、l)+16X16一心f+并)一32『-K16卩+32)-32『8X16+4侦+矿8X16+4(16疋+32)=-玄=2I(qm・所以直线"，QM.QB的斜率依次成等差数列.4.已知椭圆G：卡+話=1@＞方＞0)的离心率为「申，直线人y=x+2与以原点为圆心，以椭圆q的短半轴长为半径的圆o相切.⑴求椭圆G的方程；OA(2)抛物线C2：y2=2px(p＞0)与椭圆Cl有公共焦点，设C2与X轴交于点Q,不同的两点R
