2019-2020年高考数学大一轮复习 课时跟踪检测（五十三）最值、范围、证明问题 文（含解析）

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习课时跟踪检测（五十三）最值、范围、证明问题文（含解析）1．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．3．如图，曲线M：y2＝x

2、与曲线N：(x－4)2＋2y2＝m2(m＞0)相交于A，B，C，D四点．(1)求m的取值范围；(2)求四边形ABCD的面积的最大值及面积最大时对角线AC与BD的交点坐标．B卷：增分提能1．(xx·淄博模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求·的取值范围．2．(xx·温州十校联考)如图，过x轴上动点A(a,0)引抛物线y＝x2＋1的两条切线AP，AQ.切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P，Q.

3、(1)求证：k1·k2为定值，并且直线PQ过定点；(2)记S为面积，当最小时，求·的值．答案A卷：夯基保分1．解：(1)由已知得抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1(a>)．将点A(1，)代入方程得＋＝1，整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，∴0≤m2<8.由x1＋x2＝－m，x1x2＝，得

4、BC

5、＝

6、x1－x2

7、＝.又点

8、A到BC的距离为d＝，故S△ABC＝

9、BC

10、·d＝≤·＝，当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号．当m＝±2时，满足0≤m2<8.故直线l的方程为y＝x±2.2．解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得c＝1.因为椭圆C的离心率为e＝，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3

11、)，则x1＋x2＝.所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－.在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.当k＜0时，＋4k≤－4，当且仅当＝4k，k＝－时等号成立；当k＞0时，＋4k≥4，当且仅当＝4k，k＝时等号成立．所以－≤y0＜0或0＜y0≤.综上，y0的取值范围是.3．解：(1)联立曲线M，N，消去y可得(x－4)2＋2x－m2＝0，即x2－6x＋16－m2＝0，根据条件可得解得＜m＜4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2＞x1，y1＞0，y2＞0，则SABCD＝(y1＋y2)(x2－x1)＝(＋

12、)(x2－x1)＝·＝·.令t＝，则t∈(0,3)，SABCD＝·＝2，设f(t)＝－t3－3t2＋9t＋27，令f′(t)＝－3t2－6t＋9＝－3(t2＋2t－3)＝－3(t－1)(t＋3)＝0，可得当t∈(0,3)时，f(t)的最大值为f(1)＝32，从而SABCD的最大值为16.令＝1，得m2＝15.联立曲线M，N的方程，消去y并整理得x2－6x＋1＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，所以A(3－2，－1)，C(3＋2，－－1)，kAC＝＝－，则直线AC的方程为y－(－1)＝－[x－(3－2)]当y＝0时，x＝1，由对称性可知AC与BD

13、的交点在x轴上，即对角线AC与BD的交点坐标为(1,0)．B卷：增分提能1．解：(1)因为焦距为2，所以a2－b2＝1.因为椭圆C过点，所以＋＝1.故a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知，当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(－，0)，Q(，0)，又F2(1,0)，得·＝－1.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k≠0)，M(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝2m.由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0，则－1＋4mk＝0，故k＝.此时，直线P

14、Q斜率为k1＝－4m，PQ的直线方程为y－m＝－4m.即y＝－4mx－m.联立方程组整理得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝