2019高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十八）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）理

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1、课时跟踪检测（十八）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A卷——大题保分练1．(2018·长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过E.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝λ，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)由解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，联立方程整理得y2－y－9＝0，Δ＝＋144>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y

2、2＝，又＝λ，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝(y1＋y2)2，则＝，λ＋－2＝，因为2≤λ<3，所以≤λ＋－2<，即≤<，且k>0，解得0b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．解：(1)由已知条件，得b＝，且×＝3，∴a＋c＝3.又a2－c2＝3，∴a＝2

3、，c＝1，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程消去x得，(3m2＋4)y2－6my－9＝0.∵直线过椭圆内的点，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交．∴y1＋y2＝，y1y2＝－.∴S△F2AB＝

4、F1F2

5、

6、y1－y2

7、＝

8、y1－y2

9、＝＝12＝4＝4，令t＝m2＋1≥1，设f(t)＝t＋，易知t∈时，函数f(t)单调递减，t∈时，函数f(t)单调递增，∴当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，f(t)取得最小值，f(t)min＝，此时

10、S△F2AB取得最大值3.3．(2018·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．解：(1)x2＋y2＋2x－2y＋1＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，则圆心C的坐标为(－1,1)．∵F，∴

11、CF

12、＝＝，解得p＝6.∴抛物线E的方程为y2＝12x.(2)显然直线l的斜率非零，

13、设直线l的方程为x＝my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－12my－12t＝0，Δ＝(－12m)2＋48t＝48(3m2＋t)>0，∴y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t，由OA⊥OB，得·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，整理可得t2－12t＝0，∵t≠0，∴t＝12，满足Δ>0，符合题意．∴直线l的方程为x＝my＋12，故直线l过定点P(12,0)．∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大

14、值，此时kCP＝＝－，得m＝，此时直线l的方程为x＝y＋12，即13x－y－156＝0.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：

15、

16、，

17、

18、，

19、

20、成等差数列，并求该数列的公差．证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0

21、设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.又点P在C上，所以m＝，从而P，

22、

23、＝，于是

24、

25、＝＝＝2－.同理

26、

27、＝2－.所以

28、

29、＋

30、

31、＝4－(x1＋x2)＝3.故2

32、

33、＝

34、

35、＋

36、

37、，即

38、

39、，

40、

41、，

42、

43、成等差数列．设该数列的公差为d，则2

44、d

45、＝

46、

47、

48、－

49、

50、

51、＝

52、x1－x2

53、＝.②将m＝代入①得k＝－1，所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.故x1＋x2

54、＝2，x1x2＝，代入②解得

55、d

56、＝.所以该数列的公差为或－.B卷——深化提能练1．(2018·胶州模拟)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0且a，b2均为整数)过点，且右顶点到直线l：x＝4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆Ω交于点A，B，l2与椭圆Ω交于点C，D.求四边形ACBD面积的最小值．解：(1)由题意，