2019版高考数学复习解析几何课时达标检测四十八圆锥曲线中的最值范围证明问题理

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1、课时达标检测（四十八）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题[一般难度题——全员必做]1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设直线l：x＝ky＋1，由得(k2＋2)

2、y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1＋y2＝，y1y2＝.＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，∴

3、

4、2＝

5、＋

6、2＝16－＋，由此可知，

7、

8、2的大小与k2的取值有关．由＝λ可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．从而λ＋＝＋＝＝，由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.令t＝，则t∈，∴

9、

10、2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时，

11、QC

12、min＝2.2．(2018·河南洛阳统考)已知抛物

13、线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解：(1)∵AB∥l，∴

14、FD

15、＝p，

16、AB

17、＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋，A，B.由消去y整理得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.∴M(k

18、p，k2p＋)，N.∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．3．(2018·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y

19、2)，由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－，设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，知S＝×1×

20、x1－x2

21、＝＝2，令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2.对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，∴0<≤，∴0b>0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设

22、FA

23、＝λ

24、F

25、B

26、，T(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．解：(1)∵e＝，c＝1，∴a＝，b＝1，即椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，由

27、FA

28、＝λ

29、FB

30、，得y1＝－λy2，∵－λ＋＝＋，∴－λ＋＋2＝＝，∴m2≤，又∵AB边上的中线长为

31、＋

32、＝＝＝∈.2．(2018·武昌调研)已知椭圆的中心

33、在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．(1)若＝6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值．解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB的方程为x＋2y－2＝0.设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1

34、)，∴x0＝(6x2＋x1)＝x2＝.由D在AB上，得x0＋2kx0－2＝0，∴x0＝.∴＝，化简，得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E，F到AB的距离分别为d1＝＝，d2＝＝，又

35、AB

36、＝＝，∴四边形AEBF的面积为S＝

37、AB

38、(d1＋d2)＝××＝＝2＝2＝2≤2＝2，当且仅当4k＝(k>0)，即k＝时，等号成立．故四边形AEBF面积的最大值为2.[较高难度题——学霸做]1．(2018·石家庄市质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a