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《2019版高考数学复习解析几何课时达标检测四十六圆锥曲线中的最值范围证明问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时达标检测(四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设直线l：x＝ky＋1，由得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)
2、，则可得y1＋y2＝，y1y2＝.＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，∴
3、
4、2＝
5、＋
6、2＝16－＋，由此可知，
7、
8、2的大小与k2的取值有关．由＝λ可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．从而λ＋＝＋＝＝，由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.令t＝，则t∈，∴
9、
10、2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时，
11、QC
12、min＝2.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其
13、中O为坐标原点)．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(－2,0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线O
14、M的斜率kOM＝－.又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.3．(2018·南通模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－，设△OAB的面积为S，由x1x2＝－＜0，知S＝×1×
15、x1
16、－x2
17、＝＝2，令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2.对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝＞0，∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，∴0＜≤，∴0＜S≤.故△OAB面积的取值范围为.二、重点选做题1．(2018·丹阳期初)过离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设
18、FA
19、＝λ
20、FB
21、，T(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．解：(1)∵e＝，c＝1，∴a＝，b＝1，即椭圆C的方程为：＋y2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线l：x＝my＋1，A(
22、x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，由
23、FA
24、＝λ
25、FB
26、，得y1＝－λy2，∵－λ＋＝＋，∴－λ＋＋2＝＝，∴m2≤，又∵AB边上的中线长为
27、＋
28、＝＝＝∈.2．(2018·南京模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点.①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ.解：(1)由题意，得＝，＋＝1，结合a2－b2＝c2，解得a2＝6，b2＝3.所以椭圆的方
29、程为＋＝1.(2)①椭圆C的右焦点F(，0)．显然切线的斜率存在，设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．由方程组解得或所以点P，Q的坐标分别为，，，所以
30、PQ
31、＝.因为O到直线PQ的距离为d＝，所以△OPQ的面积为S＝
32、PQ
33、·d＝××＝.由椭圆的对称性知，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.综上所述，△OPQ的面积为.②证明：(ⅰ)若直线PQ的斜
