2019届高考数学总复习模块五解析几何限时集训十六圆锥曲线中的最值范围证明问题理

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1、限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题基础过关1.已知椭圆M与椭圆N:x29+y25=1有相同的焦点,且椭圆M过点(0,2).(1)求椭圆M的长轴长;(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证:OA·OB=-43.2.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)若MN⊥AB,求直线l的方程;(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.3.已知椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F,点M(-4,0),过M作斜

2、率不为零的直线l,与椭圆C交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B'.(1)求证:动直线AB'恒过定点F(椭圆的左焦点);(2)△MAB'的面积记为S,求S的取值范围.4.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.(1)过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;5(2)如果存在过点F的直线l'与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.能力提升5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-14,证明:直

3、线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-14x2(-22

4、AB

5、的最大值.6.已知F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.(1)求椭圆E的方程;(2)已知点P1,32,直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M点,若直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.5限时集

6、训(十六)基础过关1.解:(1)由题意,设椭圆M的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则c2=9-5=4,又由椭圆M过点(0,2),得b=2,所以a=22,所以椭圆M的长轴长为42.(2)证明:椭圆M的方程为x28+y24=1,由y=x+2,x28+y24=1,得3x2+8x=0,解得x1=0,x2=-83,则A(0,2),B-83,-23,所以OA·OB=(0,2)·-83,-23=-43,故得证.2.解:(1)由题意得kMN=-1,若MN⊥AB,则kAB=1,所以直线l的方程为y-(-2)=1·(x-5),即x

7、-y-7=0.(2)证明:由点M在抛物线上,得抛物线的方程为y2=4x.设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=m(y+2)+5(m≠0).将直线方程与抛物线方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.又MA=(x1-1,y1-2),MB=(x2-1,y2-2),所以MA·MB=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(y1y2)216-m(y1+y2)-4m-10+1+y1y2-2(

8、y1+y2)+4=(8m+20)216-m·4m-4m-10+1-(8m+20)-2×4m+4=0,所以MA⊥MB.所以点M在以AB为直径的圆上.3.解:(1)证明:易知F(-1,0).设直线l的方程为x=my-4,与x24+y23=1联立,得(3m2+4)y2-24my+36=0,由Δ>0,得

9、m

10、>2,设A(x1,y1),B(x2,y2),B'(x2,-y2),则y1+y2=24m3m2+4,y1y2=363m2+4.直线AB'的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1),令y=0,得x=x2y1+x1y2y1+y2

11、=2m·y1y2y1+y2-4=2m·32m-4=-1,∴动直线AB'恒过定点F(-1,0).5(2)S=12

12、MF

13、

14、y1+y2

15、=32×24m3m2+4=363

16、m

17、+4

18、m

19、,

20、m

21、>2.令f(t)=3t+4t,t>2,则f'(t)=3-4t2>0在(2,+∞)上恒成立,∴f(t)在(2,+∞)上单调递增,∴f(t)∈(8,+∞),∴S∈0,92,即S的取值范围为0,92.4.解:(1)易知切线l的斜率存在,设切点为Qx0,x024,由x2=4y得y' x=x0=x02,∴切线l的方程为y-x024=x02(x-x0).

22、∵切线l过点P,∴-x024=x02(a-x0),解得x0=2a或x0=0.当a=0时,切线l的方程为y=0;当a≠0时,切线l的方程为y=0或ax-y-a2=0.(2)由题,直线l'的斜率存在,设直线l'的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.设A(x1