2019届高考数学总复习 模块五 解析几何 限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 文

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1、限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题基础过关1.已知椭圆M与椭圆N:x29+y25=1有相同的焦点,且椭圆M过点(0,2).(1)求椭圆M的长轴长;(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证:OA·OB=-43.2.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)若MN⊥AB,求直线l的方程;(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.3.已知椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F,已知M(-4,0),过M作斜率不为0的直线l,与椭圆C交于A,B

2、两点,点B关于x轴的对称点为B'.(1)求证:直线AB'恒过定点F(椭圆的左焦点);(2)△MAB'的面积记为S,求S的取值范围.4.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.(1)若过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;(2)如果存在过点F的直线l'与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.能力提升5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点,如图X16-1所示.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-14,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-

3、14x2(-22

4、AB

5、的最大值.图X16-16.已知F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.(1)求椭圆E的方程;(2)已知点P1,32,直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M点,若直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.限时集训(十六)基础过关1.解:(1)由题意设椭圆M的标准方程为x2a2+y2b2=1(a

6、>b>0),则a2-b2=9-5=4,得c2=4,又椭圆M过点(0,2),所以b=2,所以a2=8,则椭圆M的长轴长为2a=42.(2)证明:椭圆M的方程为x28+y24=1,由y=x+2,x28+y24=1,得3x2+8x=0,解得x1=0,x2=-83,则A(0,2),B-83,-23,故OA·OB=(0,2)·-83,-23=-43.2.解:(1)据题意kMN=-1,由于MN⊥AB,则kAB=1,于是直线l的方程为y-(-2)=1·(x-5),即直线l的方程为x-y-7=0.(2)证明:由于点M在抛物线上,所以抛物线方程为y2=4x.设点A(x1,y1),B

7、(x2,y2),直线l的方程为x=m(y+2)+5(m≠0),与抛物线的方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,则y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,又MA=(x1-1,y1-2),MB=(x2-1,y2-2),于是MA·MB=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(y1y2)216-m(y1+y2)-4m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(8m+20)216-m·(4m)-4m-10+1-(8m+20)-2×(4m)+4=0,所以∠AMB=90°,即点M在以AB

8、为直径的圆上.3.解:(1)证明:设直线l的方程为x=my-4,代入x24+y23=1得(3m2+4)y2-24my+36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则B'(x2,-y2),则Δ=144m2-576>0,即

9、m

10、>2,且y1+y2=24m3m2+4,y1y2=363m2+4.直线AB':y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1).令y=0,得x=x2y1+x1y2y1+y2=2m·y1y2y1+y2-4=2m32m-4=-1,∴直线AB'过定点F(-1,0).(2)S=12

11、MF

12、

13、y1+y2

14、=32×

15、24m

16、3m2+4=363

17、m

18、+4

19、m

20、,

21、其中

22、m

23、>2.令f(t)=3t+4t,t>2,则f'(t)=3-4t2>0(t>2),∴f(t)在(2,+∞)上单调递增,f(t)∈(8,+∞),∴S∈0,92.4.解:(1)设切点为Qx0,x024,由y'=x2得y' x=x0=x02.∴抛物线E在点Q处的切线方程为y-x024=x02(x-x0).∵直线l过点P,∴-x024=x02(a-x0),解得x0=2a或x0=0.当a=0时,切线l的方程为y=0;当a≠0时,切线l的方程为y=0或ax-y-a2=0.(2)易知直线l'的斜率存在,设直线l'的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.

24、设A(x1