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《2019届高考数学总复习模块五解析几何限时集训十七圆锥曲线中的定点定值存在性问题理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、限时集训（十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题基础过关1.已知直线l与抛物线y2=2x交于A,B(异于坐标原点O)两点.(1)若直线l的方程为y=x-2,求证:OA⊥OB.(2)若OA⊥OB,则直线l是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.2.已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程.(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点0,12,问在y轴上是否存在定点Q,使得∠MQO=∠NQO?若存在,请求出定点Q;若不存在,请
2、说明理由.3.如图X17-1所示,已知椭圆Γ:x24+y23=1的右焦点为F,过点F且斜率为k的直线与椭圆Γ交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在x轴上方),点A关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交直线l:x=4于M,N两点,记M,N两点的纵坐标分别为yM,yN.(1)求直线PB的斜率(用k表示).(2)求点M,N的纵坐标yM,yN(用x1,y1表示),并判断yM·yN是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.图X17-14.如图X17-2所示,点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,斜率为-12的直线与抛物线交于A,
3、B两点.(1)求弦AB的中点M的纵坐标;(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:
4、QE
5、·
6、QF
7、-
8、QP
9、·
10、QB
11、为定值.图X17-2能力提升5.已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心.过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.(1)求抛物线E的方程.(2)是否存在直线l使得2
12、BC
13、是
14、AB
15、与
16、CD
17、的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0
18、)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为12,点M为椭圆上一动点,△F1MF2面积的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作x轴的垂线l1,D为l1上异于点B的一点,以BD为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H,且l2与直线AD相交于点P,试判断
19、PF1
20、+
21、PH
22、是否为定值,并说明理由.限时集训(十七)基础过关1.解:(1)证明:由y=x-2,y2=2x,得x2-6x+4=0,解得x=3±5,不妨取A(3-5,1-5),B(3+5,1+5),∴OA·OB=0,∴OA⊥OB.(2)
23、显然直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+m,y2=2x,消去x得y2-2ty-2m=0,∴y1y2=-2m,x1x2=y122·y222=m2,由OA⊥OB,得OA·OB=x1x2+y1y2=m2-2m=0,∴m=2,直线l的方程为x=ty+2,∴直线l恒过定点,且定点坐标为(2,0).2.解:(1)设PF的中点为S,切点为T,连接OS,ST,则
24、OS
25、+
26、SF
27、=
28、OT
29、=2,取F关于y轴的对称点F',连接F'P,故
30、F'P
31、+
32、FP
33、=2(
34、OS
35、+
36、SF
37、)=4>
38、FF'
39、
40、=2.所以点P的轨迹是以F',F为焦点,长轴长为4的椭圆,设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=2,c=1,b=3,所以曲线C的方程为x24+y23=1.(2)假设存在满足题意的定点Q,设Q(0,m).当直线MN的斜率存在且不为0时,设直线MN的方程为y=kx+12(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由x24+y23=1,y=kx+12,消去y,得(3+4k2)x2+4kx-11=0,则x1+x2=-4k3+4k2,x1·x2=-113+4k2.由∠MQO=∠NQO,得直线MQ与NQ的斜率之和为0,即y1-mx1+y2-m
41、x2=kx1+12-mx1+kx2+12-mx2=2kx1x2+12-m(x1+x2)x1x2=0,即2kx1x2+12-m(x1+x2)=2k·-113+4k2+12-m·-4k3+4k2=4k(m-6)3+4k2=0,得m=6,所以存在定点Q(0,6)满足题意.当MN的斜率不存在或斜率为0时定点Q(0,6)也符合题意.综上,存在定点Q(0,6)满足题意.3.解:(1)由题,设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=8k24k2+3,
42、x1x2=4k2-124k2+3,又P(-x1,-y1),所以kPB=y1+y2x1+x2=k(x1-1)+
