高数第五章定积分及其应用.ppt

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1、第五章定积分及其应用第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法及分部积分法第四节反常积分第五节定积分在几何上的应用abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为二、定积分的定义定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意：定理1定理2三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义几何意义：对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，

2、且不考虑积分上下限的大小．五、定积分的性质性质1性质2性质3性质4性质5性质5的推论：（1）（2）性质6（此性质可用于估计积分值的大致范围）证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：六、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．考察定积分记积分上限函数一、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质定理2（原函数存在定理）定理的重

3、要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理3（微积分基本公式）二、牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.例求原式例设求.解解3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数三、小结定理一、换元公式应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttfjj的一个原函数)(tF后，不必象计算不定积分那样再要把)(tF变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(tF然后相减就行了.（2）用)(txj=把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.例计算解令例计算解原式例计算

4、解令原式定积分的分部积分公式二、分部积分公式例1计算解令则例2计算解定积分的分部积分公式三、小结定积分的换元法一、无穷限的广义积分例1计算广义积分解例2计算广义积分解二、被积函数具有无穷间断点的广义积分定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.例5计算广义积分解例7计算广义积分解故原广义积分发散.例8计算广义积分解瑕点无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的瑕点）三、小结回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[ba分成n个长度为ixD的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i小窄曲边梯形的面积为iA

5、D，则=D=niiAA1.（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素（2）U对于区间[]ba,具有可加性，就是说，如果把区间[]ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．曲边梯形的面积曲边梯形的面积二、直角坐标系情形下平面图形的面积解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？解两曲线的交点选为积分变量如果曲边梯形的曲边

6、为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积三、极坐标系情形情形下平面图形的面积解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）四、小结旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积xyo旋转体的体积为例1连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx=及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．解直线方程

7、为补充解体积元素为二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结一、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长二、直角坐标情形例1计算曲线2332xy=上相应于x从a到b的一段弧的长度.解所求弧长