量子力学 第三章3.5厄米算符本征函数的正交性.ppt

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1、§3.5厄米算符本征函数的正交性一、两函数正交的定义：三维空间中二矢量正交：N维空间中二矢量正交：若两函数满足关系式：则称为两函数相互正交，式中积分是对变量变化的全部区域进行的。例如：动量本征函数，则：这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数相互正交。二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交证明：因；，则有：而设厄米算符对应于不同本征值、的本征函数为和，即证：。属于不同本征值的本征函数都是正交的。则：即：所以：，证毕。无论的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及其证明都成立。而说明：于是称为厄米算符的正交归一本征函数系。假若的本征值组成分立

2、谱，且，则：假若的本征值组成连续谱，则代替上式有：于是称为厄米算符的正交归一本征函数系。三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况）于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我们总可以用个常数把这个函数线性组合成个新的线性独立的待定函数，即：其中仍然是的本征函数（迭加原理），即：如果的一个本征值是度简并的，既有个（而不是一个）本征函数都属于相同的本征值，而且是线性无关的，则有：使新函数组成正交归一系应满足的条件为：即待定系数必须满足的条件有个方程，其中的归一化条件有个；的正交条件有个。而待定系数共有个值。个个由简并的这f

3、个函数可以线性组合成f个独立的新函数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。于是只要，就有，即待定系数的个数大于条件方程的个数，所以可以有许多选择方式，使得函数满足正交归一化条件。说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把的本征态确定下来，往往用与对易的其它的力学量算符的本征值来对体系的状态分类，其本征值与一起共同确定状态，此时正交性问题自动得到解决。如：的本征值为，对于确定的，其本征函数是重简并的。用与对易的算符的本征值来确定态函数，此时，它对应的本征值为，这时，波函数是唯一确定的。综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交

4、归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。四、正交归一函数系的例子：1.一维线性谐振子的能量本征函数：组成正交归一系。2.角动量算符的本征函数：<1>角动量算符分量的本征函数：组成正交归一系：①<2>角动量平方算符属于本征值的本征函数组成正交归一系：把①②合写②③3.氢原子的波函数：组成正交归一系：①②③④合写为：所以、、、都是正交归一函数系。（给定)④