3.5 标准正交向量组

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1、内容提要向量组的线性表示向量组的线性相关性向量组的秩与极大线性无关组向量空间标准正交向量组2014年4月21日7时27分1§5标准正交向量组一、向量的内积xy11xyxy22,,定义1：设有n维向量xynn称[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn为向量x和y的内积注：1.内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．2.内积可用矩阵乘法表示：当x和y都是列向量时，[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．2014年4月21日7时27分2内积性质（其中x,y,z为

2、n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．2014年4月21日7时27分3222定义2：令

3、

4、

5、x

6、[xx,]xxx12n称

7、

8、x

9、

10、为n维向量x的长度（或范数）．当

11、

12、x

13、

14、=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，

15、

16、x

17、

18、=0；当x≠0（零向量）时，

19、

20、x

21、

22、

23、>0．齐次性：

24、

25、lx

26、

27、=

28、l

29、·

30、

31、x

32、

33、．x+yy三角不等式：

34、

35、x+y

36、

37、≤

38、

39、x

40、

41、+

42、

43、y

44、

45、．yx2014年4月21日7时27分4[,]xy定义3：当x≠0且y≠0时，称arccos

46、

47、

48、

49、

50、

51、

52、

53、xy为n维向量x和y的夹角．TT例1：求向量1,2,2,3与3,1,5,1的夹角182解：cos3262.4二、正交向量组定义4：当[x,y]=0，称向量x和y正交称两两正交的不含零向量的向量组为正交向量组注：零向量与任何向量都正交2014年4月21日7时27分5定理1：正交

54、向量组必线性无关证明：设α1,α2,…,αr是正交向量组，存在k1,k2,…,kr使得k1α1+k2α2+…+krαr=0则[α1,k1α1+k2α2+…+krαr]=[α1,0]=0即k1[α1,α1]+k2[α1,α2]+…+kr[α1,αr]=0k1[α1,α1]=0从而k1=0同理可证，k2=k3=…=kr=0综上所述，α1,α2,…,αr线性无关2014年4月21日7时27分6三、施密特正交单位化定义5：若两两正交的单位向量组构成向量空间的基，则称它们为标准正交基如：10000100,,,

55、123400100001是R4的一个标准正交基2014年4月21日7时27分7定理2：设e1,e2,…,er是V的标准正交基，则V有α=[α,e1]e1+[α,e2]e2+…+[α,er]er证明过程与定理1类似问题：向量空间V中的一个基a1,a2,…,ar向量空间V中的一个标准正交基e1,e2,…,er2014年4月21日7时27分8求标准正交基的方法——施密特正交单位化基正交基标准正交基设,,,为向量空间V的一个基12r（1）正交化：取=11,

56、12221,11[,][,]13233312[,][,]1122[,][,][,]1r2rr1rrr12r1[,][,][,]1122rr112014年4月21日7时27分9（2）单位化，取12re,e,,e12r12r那么ee,,,e为V的一个标准正交基12r114例2：设12,23,31，把这组110向量正交单位化解：第一步正交化，取2014

57、年4月21日7时27分10T=12-1（，，）11111[12,]4532122[,]163111114111[1,3][2,3]151212033[,]1[,]23311220111第二步单位化，令111121131e2，e1，e01

58、

59、

60、

61、6322

62、

63、

64、

65、3

66、

67、

68、

69、

70、1231112014年4月21日7时27分11四、正交矩阵定义6：如果n阶矩阵A满足ATA=E，称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵注：1.