向量的正交标准正交基

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1、矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系DepartmentofMathematics内积空间第二章教学内容和基本要求1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系.3.理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，2.了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法.4.掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质重点:内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系难点:正交变换的判定方法定义2：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。一,向量的正交与标准正交基§2.2向量的正交标准正交基定义1：在

2、酉空间中，如果，则称与正交。记为:定义3：设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。定义4：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例1在中向量组都是标准正交向量组定理1:标准正交向量组必为线性无关向量组证明:设为标准正交向量组,即:令:,并和做内积:即线性无关,所以,是线性无关组维欧氏(酉)空间中，由个向量构成的正交向量组称为正交基；由单位向量构成的正交基称为标准正交基.注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.定义5：（正交与标准正交基的定义）②维欧氏(

3、酉)空间V中的一组基为标准正交基(1)定义6：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为定义7：设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵，一般记为二.酉矩阵正交矩阵例2.是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质：设，那么证明5:设是的特征值,则存在使得:证明6:设,由知:所以,这里(ii)(i)设有定理1设V是维欧氏(酉)空间为V的一组标准正交基，则证明:因为定理2:维欧氏(酉)空间V中的一组基为标准正交基当且仅当其度量矩阵证明:不妨设是酉空间,为两组基,为过渡矩阵,则有定理知:推论:设为酉(欧氏)空间,为的两组

4、标准正交基,为过渡矩阵,在两组基下的坐标分别为,则:(定理1)维欧氏(酉)空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.三.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程(定理2)设欧氏(酉)空间的线性无关组,则在中存在正交向量组,且其中:为单位上三角阵.Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组不难证明:是V中正交向量例1.把变成单位正交的向量组.解：令正交化再单位化即为所求．例2.在　　中定义内积为求　　的一组标准正交基．(由基　　　出发作正交化)解:取正交化单位化于是得　的标准正交基由公式（3）

5、，有（7）把A按列分块为由（7）有（8）GoodBye