标准正交基与Schmidt正交化方法.ppt

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1、定义1内积内积的定义及性质1说明1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．2内积的运算性质3定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：向量的长度及性质4标准正交基在三维欧氏空间R3中，它的一组基i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)满足如下条件：（I）基中的向量是单位的，即

2、i

3、=

4、j

5、=

6、k

7、=1;（II）基中的向量两两正交，即(i,j)=(j,k)=(k,i)=0.5定理若n维欧氏空间中向量1,2,…,r是一组两两正交的非零向量,则1,2,…,r线性无关.证:若有1,…,r,使11…r

8、r=0定义n维欧氏空间中任意一组两两正交的向量组称为正交向量组.6定义设n维向量1,2,…,r是向量空间VRn的一个基.若1,…,r两两正交,且

9、i

10、=1,i=1,…,r,则称1,…,r为V的标准正交基(正交规范基).7=(a1,…,an)Rn,例:e1,e2,…,en是Rn的一个正交规范基.=a1e1…anen在的表达式中,ej前的系数即为的第j个坐标.8例:证明为R4的正交规范基.证:即

11、i

12、=1，且由定理2.1,1,2,3,4线性无关,即为正交规范基.9定理任何一个非零向量空间V都存在正交规范基,且若1,…,

13、r为V的一个基,则可通过1,…,r构造出一个正交规范基.构造性证明(Schmidt正交化）:令1=1;求2=211使(2,1)得1=(2,1)/(1,1),=(211,1)故0=1221=(2,1)+(11,1)=(2,1)+1(1,1)10求3=31122使(3,1)=(3,1)1(1,1),0==(3,2)2(2,2),=(31122,1)0=(3,2)=(31122,2)……11Schmidt正交化过程则

14、1,2,…,r是一个正交规范基.…，12例设1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),试将其正交规范化.解:1=1=(1,2,1);=(1,3,1)6(1,2,1)=(1,3,1)13=(4,1,0)6(1,2,1)=(4,1,0)=(2,0,2).单位化得正交规范基：3=(4,1,0)1=(1,2,1)14定义:设A是n阶实矩阵,如果A满足则称A是正交矩阵,简称正交阵.n阶实矩阵A是正交阵的充要条件是A的行(或列)向量组为Rn的一组标准正交基.定理:15例设1=(1,2,1),2=(1,3

15、,1),3=(0,5,0),试将其正交规范化.解:1=1;=(0,5,0)6(1,2,1)=(0,5,0)=0.思考题161,2,3两两正交,但不能规范化.原因?3=12即1,2,3线性相关.1=(1,2,1)2=(1,3,1)3=(0,5,0)17