Rn的标准正交基

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1、一、Rn的基§2.6Rn的标准正交基二、Rn的标准正交基三、正交矩阵一、Rn的基n维实向量空间线性无关，且任一向量可由它们唯一表出；互相垂直，且长度都为1。3个向量在直角坐标系的3个轴上称为R3的一个基几何向量的度量性质1.基的定义定义1在Rn中，称任意n个线性无关的向量1,2,…,n为Rn的一个基.显然Rn中的向量组1=(1,0,…,0)T,2=(1,0,…,0)T,…,n=(1,0,…,0)T为Rn的一个基，一般称1,2,…,n为Rn的标准基或自然基.类似地，1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T也是Rn的

2、一个基.注：任意Rn，可由1,2,…,n为唯一线性表示。2.向量在基下的坐标定义2设1,2,…,n为Rn的一个基，则对于任意Rn，可以表为1,2,…,n的线性组合，且表示法唯一，使=a11+a22+…+ann即存在a1,a2,…,anR,称组合系数a1,a2,…,an为在基1,2,…,n下的坐标，记作(a1,a2,…,an).例1分别求向量=(d1,d2,…,dn)TRn，在标准基1,2,…,n和基1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T下的坐标.如何推广几何空间R3中向量

3、的度量（点积、长度、夹角）概念及直角坐标系的概念???在3维几何空间中，我们引进了向量的点积直角坐标计算公式定义二、Rn的标准正交基(“直角坐标系”)定义设n维实向量则称为向量与的内积.显然，TR.1.向量的内积例如，设=(1,1,1,1)T,=(1,-2,0,-1)T,则内积的性质(1)T=T;(2)(k)T=kT;(3)(+)T=T+T;(4)T0,且T=0=0.其中,,为Rn中的任意向量，kR.由性质(1),(2),(3)可推出：(k11+k22)T=k11T+k22T,T(k11+k2

4、2)=k1T1+k2T2.2.向量的长度定义设=(a1,a2,…,an)TRn，称为向量的长度(或模)，记作

5、

6、

7、

8、.即如果

9、

10、

11、

12、=1，则称为单位向量.例如：均为R2中的单位向量.长度的性质(1)

13、

14、

15、

16、0,且

17、

18、

19、

20、=0=0;(2)

21、

22、k

23、

24、=

25、k

26、·

27、

28、

29、

30、;(3)

31、T

32、

33、

34、

35、

36、·

37、

38、

39、

40、,且

41、T

42、=

43、

44、

45、

46、·

47、

48、

49、

50、,线性相关.(4)非零向量的单位化若0，则为单位向量.3.向量正交定义设,Rn,如果T=0，则称向量,正交.定义如果一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零向量)1,2,…

51、,s(s2)中的向量两两正交，则称1,2,…,s为一个正交向量组.正交向量组线性无关组性质由正交的定义知:零向量与任意向量正交.4.标准正交基定义如果Rn中的n个向量1,2,…,n满足以下两个条件：(1)1,2,…,n中任意两个向量都正交；(2)

52、

53、j

54、

55、=1,j=1,2,…,n,则称1,2,…,n为Rn的一个标准正交基.6，1,4A-1=AT设A为n阶实矩阵,则A为正交矩阵三、正交矩阵看看Rn的标准正交基构成怎样的矩阵？AAT=E(或ATA=E)定义定理A的行(或列)向量组是Rn的标准正交基正交矩阵的性质(1)若A为正交矩阵,则

56、A

57、=;(

58、证明略)(2)如果A是正交矩阵，则A-1也是正交矩阵;(3)如果A,B均为n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.例1下列矩阵都是正交矩阵吗？例2解