四.规范正交基（标准正交基）.ppt

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1、四.规范正交基(标准正交基)1.规范正交基的概念定义3设n维向量是向量空间V的一个基,如果是两两正交的单位向量,则称是向量空间V的一个规范正交基.是V的一个规范正交基。显然,若则例如:由于(i,j=1,2,3,4)所以是的一个规范正交基。2.向量的坐标设是V的一个规范正交基,那么V中任何一向量应能由线性表示,表示法为为求表示法中的系数xi,可用与α作内积(i=1,2,…,n),称是α在基下的坐标。=xi[ei,ei]=xi3.施密特标准正交化设是向量空间V的一个基，令………………………………可以证明,是两两正交的单位向量。故

2、是V的一个规范正交基。例2设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解取故即合所求。例3已知,求非零向量α1，α2，使α3与α1，α2正交,并把它们化成R3的规范正交基。解:α1，α2应满足α3Tx=0的非零解,即它的基础解系为令因此可用施密特标准正交化.则α3与α1,α2正交,显然α1与α2线性无关,取b1=α1,再把α3单位化，得五、正交矩阵与正交变换1.正交矩阵定义4如果n阶矩阵A满足那么称A为正交矩阵.将矩阵A按列分块,即则亦即这说明方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是两两正交的单位向量。同理可得方阵A为

3、正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两两正交的单位向量。例4验证是正交矩阵。解：显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以P为正交矩阵。例5证由于故2.正交变换定义5设P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。设y=Px为正交变换，则有按‖x‖表示向量长度,‖x‖=‖y‖说明经正交变换向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。作业:161页1(2)23