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1、计算正交规范的等价向量组 篇一：第一讲正交向量组及施密特正交法 第一讲 Ⅰ授课题目： 预备知识：向量的内积Ⅱ教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念； 1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法； 2.了解正交矩阵概念及性质。 Ⅲ教学重点与难点： 重点：正交向量组及正交矩阵 难点：施密特正交化方法 Ⅳ讲授内容： 一、向量的内积 前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算.定义1设有n维向量 ?x1??x2 x?
2、? ???x?n ??y1 ?? ??y2 y?，??? ?? ?y? ?n? ? ???，??? 令?x,y??x1y1?x2y2???xn， ?x,y?称为向量x与y的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有?x,y??xy. T 内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，?为实数）：①?x,y???y,x?；②??x,y????x,y?；③?x?y,z???x,y???x,z?. ?1???3??????2??0? 例1设有两个四维向量????，???.求??,??及??,??. ?16??????5
3、???5????? 解??,????3?0?6?25??34??,???1?4?1?25?31 n维向量的内积是数量积的一种推广，但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹 角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义 n维向量的长度和夹角：定义2令x= x,x? x1?x2??xn 222 ，则x称为n维向量x的长度（或范数）. 向量的长度具有下列性质： ①非负性当x?0时，x?0，当x?0时，x?0；②齐次性?x??x； ③三角不等式x?y?x?y. 向量的内积满足施瓦兹不等式?x,y???x,x???y,y?
4、2 由此可得 ?x,y? xy ?1（当xy?0时） 于是有下面的定义： 当x?0，y?0时，??arccos二、正交向量组 当?x,y??0时，称向量x与y正交.显然，若x?0，则x与任意向量都正交.两两正交的非零向量组称为正交向量组. 定理1若n维向量?1,?2,??r是一组两两正交的非零向量组，则?1,?2,??r线性无关. 证明设有?1,?2,??r使?1?1??2?2????r?r?0， ?x,y? xy 称为n维向量的夹角. 以?1左乘上式两端，得?1?1?1?0，因?1?0，故?1?1?T 2 TT ?0，从而必有?1?0.类似
5、可证?2?0,??r?0.于是向 量组?1,?2,??r线性无关. 注1.该定理的逆定理不成立. 2.这个结论说明：在n维向量空间中，两两正交的向量不能超过n个.这个事实的几 何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量. 正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如n个两两正交的n维非零向量，可构成向量空间Rn的一个正交基. ?1??1?????3 例2已知3维向量空间R中两个向量?1??1?，?2???2?正交，试求一个非零向量 ?1??1????? ?3，使?1,?2,?3两两正交. ??1T
6、 解记A??T ???2 ??1?????1?? 1?2 1??，1?? ?3应满足齐次线性方程Ax?0，即?1 ??1 ? 1?2 ?x1? 1????0???，?x2??????1????0??x3? 1?3 1??1?~??0???0 01 1??x1??x3 ?，得?，0?x?0??2 ?1 由A~??0 ? ??1???1????? 从而有基础解系?0?，取?3??0?即合所求. ?1??1????? 定义3设n维向量e1,e2,?,er是向量空间V(V?R)的一个基，如果e1,e2,?,er两两正交，且都是单位向量，
7、则称e1,e2,?,er是V的一个规范正交基. n 若e1,e2,?,er是V的一个规范正交基，那么V中任一向量?应能由e1,e2,?,er线性表示，设表示式为???1e1??2e2????rer.为求其中的系数?i(i?1,?r)，可用 ei左乘上式，有ei???ieiei??i，即?i?ei????,ei?. T TTT 设?1,?2,??r是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量e1,e2,?,er，使e1,e2,?,er与?1,?2,??r等价.这样一个问题
