计算正交规范的等价向量组

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1、计算正交规范的等价向量组  篇一:第一讲正交向量组及施密特正交法  第一讲  Ⅰ授课题目:  预备知识:向量的内积Ⅱ教学目的与要求:  1.了解向量的内积及正交向量组的概念;  1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法;  2.了解正交矩阵概念及性质。  Ⅲ教学重点与难点:  重点:正交向量组及正交矩阵  难点:施密特正交化方法  Ⅳ讲授内容:  一、向量的内积  前面曾介绍过向量的线性运算,但在许多实际问题中,还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此,作为解析几何中向量的数量积的推广,引进向量的内积运算.定义1设有n维向量  ?x1??x2  x?

2、?  ???x?n  ??y1  ??  ??y2  y?,???  ??  ?y?  ?n?  ?  ???,???  令?x,y??x1y1?x2y2???xn,  ?x,y?称为向量x与y的内积.  内积是向量的一种运算,用矩阵记号表示,当x与y都是列向量时,有?x,y??xy.  T  内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,?为实数):①?x,y???y,x?;②??x,y????x,y?;③?x?y,z???x,y???x,z?.  ?1???3??????2??0?  例1设有两个四维向量????,???.求??,??及??,??.  ?16??????5

3、???5?????  解??,????3?0?6?25??34??,???1?4?1?25?31  n维向量的内积是数量积的一种推广,但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹  角的概念,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来,利用内积来定义  n维向量的长度和夹角:定义2令x=  x,x?  x1?x2??xn  222  ,则x称为n维向量x的长度(或范数).  向量的长度具有下列性质:  ①非负性当x?0时,x?0,当x?0时,x?0;②齐次性?x??x;  ③三角不等式x?y?x?y.  向量的内积满足施瓦兹不等式?x,y???x,x???y,y?  

4、2  由此可得  ?x,y?  xy  ?1(当xy?0时)  于是有下面的定义:  当x?0,y?0时,??arccos二、正交向量组  当?x,y??0时,称向量x与y正交.显然,若x?0,则x与任意向量都正交.两两正交的非零向量组称为正交向量组.  定理1若n维向量?1,?2,??r是一组两两正交的非零向量组,则?1,?2,??r线性无关.  证明设有?1,?2,??r使?1?1??2?2????r?r?0,  ?x,y?  xy  称为n维向量的夹角.  以?1左乘上式两端,得?1?1?1?0,因?1?0,故?1?1?T  2  TT  ?0,从而必有?1?0.类似

5、可证?2?0,??r?0.于是向  量组?1,?2,??r线性无关.  注1.该定理的逆定理不成立.  2.这个结论说明:在n维向量空间中,两两正交的向量不能超过n个.这个事实的几  何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量;空间中找不到四个两两垂直的非零向量.  正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基.例如n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间Rn的一个正交基.  ?1??1?????3  例2已知3维向量空间R中两个向量?1??1?,?2???2?正交,试求一个非零向量  ?1??1?????  ?3,使?1,?2,?3两两正交.  ??1T

6、  解记A??T  ???2  ??1?????1??  1?2  1??,1??  ?3应满足齐次线性方程Ax?0,即?1  ??1  ?  1?2  ?x1?  1????0???,?x2??????1????0??x3?  1?3  1??1?~??0???0  01  1??x1??x3  ?,得?,0?x?0??2  ?1  由A~??0  ?  ??1???1?????  从而有基础解系?0?,取?3??0?即合所求.  ?1??1?????  定义3设n维向量e1,e2,?,er是向量空间V(V?R)的一个基,如果e1,e2,?,er两两正交,且都是单位向量,

7、则称e1,e2,?,er是V的一个规范正交基.  n  若e1,e2,?,er是V的一个规范正交基,那么V中任一向量?应能由e1,e2,?,er线性表示,设表示式为???1e1??2e2????rer.为求其中的系数?i(i?1,?r),可用  ei左乘上式,有ei???ieiei??i,即?i?ei????,ei?.  T  TTT  设?1,?2,??r是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量e1,e2,?,er,使e1,e2,?,er与?1,?2,??r等价.这样一个问题

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