向量组的等价及向量组的秩

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1、向量组的等价及向量组的秩一基本概念1设是由若干个维向量构成的集合，向量，若有（1）线性无关；（2）中任一向量都可由线性表示。那么，则称是的一个极大无关组。称为的秩数，若无极大无关组，即不含非零向量时，称的秩数为0。的秩数记为。2设有维向量组Ⅰ：与维向量组Ⅱ：。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。3矩阵的行向量组的秩数称为的行秩数；的列向量组的秩数称为的列秩数。的行秩数记为行秩；的列秩数记为列秩。二主要结论1简化行阶梯形矩阵的性质（1）主列构成的向量

2、组线性无关；（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。2对矩阵进行行的初等变换不改变的列向量组的线性关系。3个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，+1个维向量必线性相关。4设向量组中任一向量都可由向量线性表示。那么，如果，则向量组必线性相关。等价陈述即其逆否命题为：设向量组中任一向量都可由向量线性表示。那么，如果向量组线性无关，则必有。推论1：向量组的极大无关组中所含向量个数被所唯一确定。即的任意两

3、个极大无关组中所含向量个数相等。推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则(Ⅰ)(Ⅱ)。推论3：等价的向量组的秩数相等。5对任意矩阵均有，行秩=列秩=（）。6设为n阶方阵，则下述条件等价：（1）为可逆矩阵：（2）；（3）：（5）行秩=列秩=（6）的列向量组线性无关；（7）的行向量组线性无关；例题一计算题1求向量组的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。2已知向量组与有相同的秩，且可由线性表示，求的值。二单项选择题1设维向量组（Ⅰ）：与向量组（Ⅱ）：的秩均为3，向量组（Ⅲ）：的秩

4、为4，则向量组的秩为（）2，（）3，（）4，（）5。2设与是两个维向量组，且秩=秩，则（）两个向量组等价；（）秩；（）当可由线性表示时，也可由线性表示；（）当时，两个向量组等价。三证明题1设是一个向量组，，且线性无关，证明下述两条件等价：（1）中任一向量都可由线性表示；（2）中任何向量都线性相关。2设向量组的秩为，，证明若线性无关，则为的一个极大无关组。3设向量组的秩为，，证明若中任何向量都可由线性表示，则为的一个极大无关组。4设向量，而，，证明：秩=秩；5举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。但若秩相等

5、且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。6设，为矩阵，且，证明的列向量组线性相关。作业1设向量组的秩为，其中，则（）必有；（）向量组中任意个数小于的部分向量组必线性相关；（）向量组中任意个向量必线性无关；（）向量组中任意+1个向量必线性相关。2设向量组中任一向量都可由向量线性表示。则下列结论正确的是（）当时向量组线性相关；（）当时向量组线性相关；（）当时向量组线性相关；（）当时向量组线性相关。3设为矩阵，且，则（）的行向量组与列向量组都线性无关；（）的行向量组线性无关，列向

6、量组线性相关；（）当时，的行向量组线性无关，列向量组线性相关；（）当时，的行向量组与列向量组都线性无关。4求向量组的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。5设有向量组（1）为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表示；（2）为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。6设是一个向量组，，若中任何向量都可由唯一线性表示，证明为的一个极大无关组。7设维向量组（Ⅰ）：，的秩为，向量组（Ⅱ）：的秩为，向量组（Ⅲ）：，的秩为，证明下列结论：（1）若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则=

7、；（2）若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则=；（3）若=，则；（4）若=，则。8设向量组的秩为，证明向量组的秩仍为的充分必要条件是可由线性表示。