向量组的最大无关组与秩

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1、第三节向量组的最大无关组与秩一、向量组的秩二、向量组的等价三、向量组的秩与矩阵秩的关系1一、向量组的秩一个向量组所含的向量个数最多的无关部分组有什么性质?问题定义2.3.1如果一个向量组的一个部分组线性无关,并且向量组中的任意一个向量都可以由线性表出,则称为这个向量组的一个最大线性无关向量组,简称最大无关组.向量组Ω的最大无关组所含向量的个数r称为向量组Ω的秩,记作只含零向量的向量组没有最大无关组,并规定它的秩为0.2例1设向量组A:1=[1,1,1]T,2=[2,1,0]T,3=[3,2,1]T求A的一个最大无关组解因1,2线性无关,3=1+21,

2、2为A的一个最大无关组1,3和2,3也都是A的最大无关组例2n维单位坐标向量组ε1,ε2,…,εn是Rn的一个最大无关组因为向量组ε1,ε2,…,εn线性无关而n+1个n维向量必然线性相关,Rn的任一个向量都可由ε1,ε2,…,εn线性表出所以ε1,ε2,…,εn为Rn的一个最大无关组3一个向量组的最大无关组与原向量组有什么关系?向量组最大无关组的四个基本问题存在、唯一、个数、求法需要进一步讨论两个向量组之间的关系向量组最大无关组的几个问题4二、向量组的等价设有两个n维向量组A与B,如果向量组A的每个向量可由向量组B线性表出,则称向量组A可由向量组B线性表出,如

3、果向量组A和向量组B可以互相线性表出,则称向量组A与向量组B是等价的,记为向量组A≌向量组B定义2.3.25向量组A,B,C之间的等价具有下列性质(1)自反性AA(2)对称性AB=>BA(3)传递性AB,BC=>AC6由定义2.3.1,A:1,2,,s中任意一个向量都可由A1:1,2,,r线性表出故A≌A1对i(i=1,2,…,r),由可知A1可由A线性表出i=01+…+1i+…+0r+0r+1+0s推论2.3.1向量组的任意两个最大无关组等价定理2.3.1向量组与它的任一最大无关组等价证设向量组A:1,2,…r,r+1

4、,…,sA1:1,2,…,r是A的一个最大无关组7定理2.3.2如果n维向量组1,2,,s可由n维向量组1,2,,t线性表出,并且s>t,则向量组1,2,,s必线性相关如果向量组1,2,,s可由向量组1,2,,t线性表出,并且1,2,,s线性无关,则s≤t推论2.3.28设无关向量组A,B含向量数分别为s,t,由推论2.3.2,因A可由B线性表出,所以st;同样因为B也可由A线性表出,所以ts故s=t两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同证推论2.3.3一个向量组的任意两个最大无关组所含向量的个数相同推论

5、2.3.4推论2.3.5等价向量组的秩相等推论2.3.5的逆命题不成立9例3已知向量组1,2可由向量组1,2线性表示,即问这两个向量组是否等价?解已知由于可逆10向量组1,2可由向量组1,2线性表示综合(1)(2),这两个向量组等价11三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义2.3.3矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩,A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩设A是一个mn矩阵,令每行构成1个n维行向量；每列构成1个m维列向量A是由m个n维行向量或n个m维列向量构成的12定理2.3.3行初等变换不改变矩阵的行秩与列秩证明思路1仅需证明如果矩阵A经一次行初等变换化为B

6、时A,B有相同的行秩.注意到此时A,B的行向量组等价,秩自然相同.即证考虑对A的列向量进行行初等变换化为B时,A与B有相同的列秩.注意到此时AX=0与BX=0为同解方程组证明思路213推论2.3.6矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩与列秩定理2.3.4矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩据定理2.3.3和定理2.3.6得如果对矩阵A的转置AT作行初等变换,由定理2.3.3,行初等变换不改变矩阵AT的行秩与列秩.即对应于A作列初等变换不改变矩阵A的列秩与行秩矩阵的行秩和列秩相等且即为矩阵的秩定理2.3.5141=[1,2,3]T,2=[-3,-2,3]T3=[4,7,

7、9]T,4=[5,9,12]T例4已知向量组求1,2,3,4的秩及其一个最大无关组,并将其余向量用这个最大无关组线性表出解令A=[1,2,3,4],对A作行初等变换化为行最简形151,2是向量组1,2,34的一个最大无关组R(A)=2，该向量组的秩为２，且16