求向量组秩与极大无关组

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1、求向量组的秩与极大无关组  对于具体给出的向量组,求秩与极大无关组的常用方法如下.  方法1将向量组排成矩阵:(列向量组时)或(行向量组时)(*)并求的秩,则即是该向量组的秩;再在原矩阵中找非零的阶子式,则包含的个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.  方法2将列(或行)向量组排成矩阵如(*)式,并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或),则(或)中非零行(或列)的个数即等于向量组的秩,且是该向量组的一个极大无关组,其中是(或)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列

2、(或行).  方法3当向量组中向量个数较少时,也可采用逐个选录法:即在向量组中任取一个非零向量作为,再取一个与的对应分量不成比例的向量作为,又取一个不能由和线性表出的向量作为,继续进行下去便可求得向量组的极大无关组.  对于抽象的向量组,求秩与极大无关组常利用一些有关的结论,如“若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示,则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩”,“等价向量组有相同的秩”,“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等.  例1求向量组,,,,的秩与一个极大无关组.  解法1,

3、所以向量组的秩为3;又中位于1,2,4行及1,2,4列的3阶子式故是向量组的一个极大无关组(可知;均可作为极大无关组).  法2由于的第1,2,4个行向量构成的向量组线性无关,故是向量组的一个极大无关组.  例2求向量组,,,的秩和一个极大无关组.  解    (1)当且时,,故向量组的秩为3,且是一个极大无关组;  (2)当时,,故向量组的秩为3,且是一个极大无关组;  (3)当时,若,则,此时向量组的秩为2,且是一个极大无关组.若,则 ,此时向量组的秩为3,且是一个极大无关组.  例3设向量组

4、的秩为.又设,,求向量组的秩.  解法1由于,且所以故向量组与等价,从而的秩为.  法2将看做列向量,则有其中可求得,即可逆,从而可由线性表示,故这两个向量组等价,即它们有相同的秩.  例4设向量组(Ⅰ):和向量组(Ⅱ):的秩分别为和,而向量组(Ⅲ):的秩为.证明:.  证若和中至少有一个为零,显然有,结论成立.若和都不为零,不妨设向量组(Ⅰ)的极大无关组为,向量组(Ⅱ)的极大无关组为,由于向量组可以由它的极大无关组线性表示,所以向量组(Ⅲ)可以由,线性表示,故的秩

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