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1、精品文档求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩.的秩.【例1】求下列向量组ai=(1,2,3,4),02=(2,3,4,5),as=(3,4,5,6)解1：以aI，02,03为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求2欢迎下载精品文档2欢迎下载精品文档因为阶梯形
2、矩阵的列秩为2,所以向量组的秩为2.解2：以ai,02,03为行向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.2欢迎下载精品文档2欢迎下载精品文档2欢迎下载精品文档2欢迎下载精品文档因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为2.2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组A：1,2,…，n①设10,则1线性相关，保留1②加入2,若2与1线性相关，去掉2;若2与1线性无关，保留1,2；2欢迎下载精品文档③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：11,2,1T,22,3,1T,34,1,
3、1T,的最大无关组解：因为a非零，故保留a1取a2,因为a1与比线性无关，故保留a1,比取a3,易得a3=2a1+a2,故a1,a2,a3线性相关。所以最大无关组为a.a2方法2初等变换法【定理】矩阵A经初等行变换化为B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性证明从略，下面通过例子验证结论成立.向量组：1=(1,2,3)T,2=(-1,2,0)T,3=(1,6,6)T拽件关泵。产组+/丹=邛+凡力=2"为a=缢十及%=25中小由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：(1)列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;②
4、对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组.【例3】求向量组：1=(2,1,3,-1)T,2=(3,-1,2,0)T,3=(1,3,4,-2)T,4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解以1,2,3,4为列构造矩阵A并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：2欢迎下载精品文档1,2,3,423141133324110211-13-305-51005-5100-11-21-13-301-1200000000知r(A)=2,故向量组的最大无关
5、组含2个向量而两个非零行的非零首元分别在第1,2列,故1,2为向量组的一个最大无关组事实上，1，1-101知r(1,2)=2,故1,2线性无关0000为把3,4用1,2线性表示,把A变成行最简形矩阵A102-101-12B00000000记矩阵B=(1,2,3,4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量1,2,3,4之间有相同的线性关系。1,2,3,4与向量21010而3230011212,412200003=21-2,1+228欢迎下载精品文档8欢迎下载精品文档4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：1,2,0,322,5,3
6、,630,1,3,0,42,1,4,755,8,1,2解：以给定向量为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B8欢迎下载精品文档他设第S列为，该如何表示？厂12025)P20250-1132。-11320—3341«00-5-5200-B-bJ【。力"】।矩阵8匕是阶痴影履阵田的每阶花首列所在的则是1,2,4列，所以」的第1,34列就是J的列向量组的极大线性无关组，即,"2,B4是向置组的一个极大心牲无关姐II再利用初等行变换，将B再化成行最简形矩阵C.rl2003、0-110-11。0011I。0000」即列向量组的一个极大无关组
7、化为了单位向量纲.根据行最简形矩阵C'可知小，々2,。力是向量组的一个极大无关组，且%—a.+ct?+a4.用最大线性无关组表示其它向量的方法为：①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C;初等矩阵A,B,C初等变换行作为求秩无关B中见线性无关C做陪④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量.8欢迎下载精品文档【例5】求向量组解:(2)2b12b初错H变旗---的秩和一个最大无关组[00-G1-3(4-20)当上黄0且时，rank4=3,故向
8、量组的秩为3,且乌，里，珥是一个最大无关组;当上=0时，ramk4二3,故向量组的秩为3,且居,药,肉是一个最大无关组;b二一6W--当c=l时，若2,则2,此时向
