求向量组的秩和极大无关组[修改整理]

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1、.WORD.格式.求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组a１=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．解2：以a１,a２

2、,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组A：a1,a2,…,an①设a1¹0，则a1线性相关，保留a1②加入a2，若a2与a1线性相关，去掉a2；若a2与a1线性无关，保留a1，a2；.专业资料.整理分享..WORD.格式.③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：的最大无关组解：因为a1非零，故保留a1取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2，a3线性相关

3、。所以最大无关组为a1，a2方法2初等变换法【定理】矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：a1=(1,2,3)T,a2=(-1,2,0)T,a3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：（1）列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组：a1=(2,1,3,-1)T,a2=(3,-1,2,0)T,a3=(1,3,4,-2)T,a4=(4,-3,1,1

4、)T的秩和一个最大无关组,并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解以a1,a2,a3,a4为列构造矩阵A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：.专业资料.整理分享..WORD.格式.知r(A)=2,故向量组的最大无关组含2个向量而两个非零行的非零首元分别在第1,2列,故a1,a2为向量组的一个最大无关组事实上，知r(a1,a2)=2,故a1,a2线性无关为把a3,a4用a1,a2线性表示,把A变成行最简形矩阵记矩阵B=(b1,b2,b3,b4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量a1,a2,a3,a4与向量b1,b2,b3,b4之间有相同的线

5、性关系。因此a3=2a1-a2,a4=-a1+2a2【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B.专业资料.整理分享..WORD.格式.再利用初等行变换，将B再化成行最简形矩阵C.初等矩阵A,B,C初等变换行作为求秩无关B中见线性无关C做陪用最大线性无关组表示其它向量的方法为：①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C；④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量．.专业资料.整理分享..WORD.格式.【例

6、5】求向量组，，，的秩和一个最大无关组.　　解：　　(1)当且时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；　　(2)当时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；　　(3)当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是一个最大无关组.若，则　，此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组.（2）行向量列变换同理,也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）,通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。【例6】求向量组，，，，的一个最大无关组.解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换将A化为行最简形:（行向量列变换）由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向

7、量组的一个最大无关组.方法3线性相关法（了解）若非零向量组A：a1,a2,…,an线性无关，则A的最大无关组就是a1,a2,…,an.专业资料.整理分享..WORD.格式.若非零向量组A线性相关，则A中必有最大无关组二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩2、等价向量组有相同的秩3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组【例7】设向量组的秩为.又设，，求向量组的秩.解法1：由于，且，所以，故向量组与等价，从而的秩