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《线性代数 向量组的正交性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、向量组的正交性一、向量的内积：1.定义1：设有向量α=(a,1a2,",an)β=(b,1b2,",bn)a1b1+a2b2+"+anbn称为向量α与β的内积，记为（α，β）。（α，β）=a1b1+a2b2+"+anbnT(i)（α，β）=αβ(ii)（α，β）=（β，α)(iii)（kα,β）=k(α，β)=（α,kβ）(iv)（α+β,γ）=(α，γ)+（β,γ）2222(v)（α，α）=a1+a2+"+an=α2.向量的单位化111α为单位向量。α=α=1ααα二、向量的夹角。三、向量的正交性：1.定义2.若（α，β）=,0则称向量α与β正交。由定
2、义知若,0α=,则α与任何向量都正交.2.定义3.如果m个n维非零向量α1,α2,",αm两两正交，即满足（αi，αj）=(,0i≠j)则称向量组α1,α2,",αm为正交向量组,简称为正交组。e1=,0,1("0,),e2=,1,0("0,),",en=,0,0("1,).为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。3.正交向量组的性质定理:设α1,α2,",αm为正交向量组,则α1,α2,",αm线性无关。回忆:如何证明一组向量线性无关?证:设k1α1+k2α2+"+kmαm=O⇒(αi,k1α1+k2α2+"+kmαm)=(αi,O)=0⇒k1(α
3、i,α1)+k2(αi,α2)+"+km(αi,αm)=0∵α1,α2,",αm为正交向量组,则（αi，αj）=(,0i≠j)∴ki(αi,αi)=0由于αi≠O,即(αi,αi)≠0⇒ki=0(i=1,2,···,m)∴α1,α2,",αm为线性无关向量组。问题:线性无关的向量组是否为正交组?不是!反例：α1=1,0,1(),α2=)1,0,0(四向量空间的正交基若α,α,",α是向量空间V的一个基,且α,α,12r12",α是两两正交的非零向量组,则称α,α,",α是r12r向量空间V的正交基.例1已知三维向量空间中两个向量⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟α=⎜
4、1⎟,α=⎜−2⎟12⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝1⎠正交，试求α使α,α,α构成三维空间的一个正交基.3123T解:设αα=≠()xxx,,0,且分别与,α正交.312312则有(,)(,)0α13αα=23α=(,)αα=xxx++=013123即{(,)αα=xxx−+=2023123解之得xx=−=,0x.132⎛⎞x⎛⎞−11若令x=1,则有α==⎜⎟x⎜⎟0332⎜⎟⎜⎟⎝⎠x3⎝⎠1由上可知α1,α2,α3构成三维空间的一个正交基.五规范正交基定义3设n维向量e,e,",e是向量空间V(V⊂12rnR)的一个基,如果e,e,",e两两正交且都是单位12
5、r向量,则称e,e,",e是V的一个规范正交基.12r例如⎛12⎞⎛12⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜12⎟⎜−12⎟⎜0⎟⎜0⎟e=,e=,e=,e=.1⎜0⎟2⎜0⎟3⎜12⎟4⎜12⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎝0⎠⎝0⎠⎝12⎠⎝−12⎠4所以e,e,e,e为R的一个规范正交基.1234⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜0⎟ε=,ε=,ε=,ε=.1⎜0⎟2⎜0⎟3⎜1⎟4⎜0⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎝0⎠⎝0⎠⎝0⎠⎝1⎠4也为R的一个规范正交基.空间的标准正交基也不唯一若ee,,,"eV是的一个规范
6、正交基那么中,V12r任一向量应能由αee,,,"e线性表示,12r设表示式为αλ=+++eλe"λe1122rrT为求其中的系数λ(1ir=,2,,)",用左乘上式有e,iiTTeαλ==eeλ,iiiiiT即λ==eαα(,).eiii六、向量组的正交规范化：公式：设α1,α2,",αm为线性无关向量组，令β1=α1（α2，β1）β2=α2−β1（β1，β1）正交化（α3，β1）（α3，β2）β3=α3−β1−β2（β1，β1）（β2，β2）施密特正交化过程""""Schimidt（αm，β1）（αm，β2）（αm，βm−1）βm=αm−β1−β2−
7、"−βm−1（β1，β1）（β2，β2）（βm−1，βm−1）(i)α1,α2,",αm与β1,β2,",βm等价；(ii)β1,β2,",βm为正交组。再将β1,β2,",βm为单位化，即得到单位正交向量组。单位化例用施密特正交化方法，将向量组α==(1,1,1,1),αα(1,1,0,4),−=(3,5,1,1)−123正交规范化.解先正交化，取βα11==(1,1,1,1)(,)βα12β=−αβ221(,)ββ111−1+4=(),1−4,0,1−()1,1,1,1=(,0−,2−3,1)1+1+1+1(,)βαβ(,)α1323β=−αββ−3
8、312(,)ββ(,)ββ112281−4=−()3,5,1,1−()1,1,1
