正交向量组及施密特正交法

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1、第一讲Ⅰ授课题目：§5.1预备知识：向量的内积Ⅱ教学目的与要求：1.了解向量的内积及正交向量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。Ⅲ教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵难点：施密特正交化方法Ⅳ讲授内容：一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算.定义1设有维向量，，令，称为向量与的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有.内积具有下列性质（其中为维向量，为实数）：①；

2、②；③.例1设有两个四维向量，.求及.解维向量的内积是数量积的一种推广，但维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义维向量的长度和夹角：定义2令=，则称为维向量的长度（或范数）.向量的长度具有下列性质：①非负性当时，，当时，；②齐次性；③三角不等式.向量的内积满足施瓦兹不等式由此可得（当时）于是有下面的定义：当，时，称为维向量的夹角.二、正交向量组当时，称向量与正交.显然，若，则与任意向量都正交.两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理1若维向量是一组两两正交的非零向量组，则线性无关.证明设有使，以左乘

3、上式两端，得，因，故，从而必有.类似可证.于是向量组线性无关.注1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明：在维向量空间中，两两正交的向量不能超过个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如个两两正交的维非零向量，可构成向量空间的一个正交基.例2已知3维向量空间中两个向量，正交，试求一个非零向量，使两两正交.解记，应满足齐次线性方程，即，由，得，从而有基础解系，取即合所求.定义3设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是的一个规范正交基

4、.若是的一个规范正交基，那么中任一向量应能由线性表示，设表示式为.为求其中的系数，可用左乘上式，有，即.设是向量空间的一个基，要求的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量，使与等价.这样一个问题，称为把这个基规范正交化.以下办法可把规范正交化：取；；…….容易验证两两正交，且与等价.然后只要把它们单位化，即取，，……，，就得的一个规范正交基.上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程.它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价.例3设，，，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解取；；.再把它们单位化，取，，.即合所求

5、.例4已知，求一组非零向量，使两两正交.解应满足方程，即.它的基础解系为，.把基础解系正交化，即合所求.亦即取，.于是得，.三、正交矩阵在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为对应的矩阵，显然.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4如果阶矩阵满足（即），称为正交矩阵.上式用的列向量表示，既是，亦即，这也就是个关系式（）.这就说明：方阵为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位鲜花量，且两两正交.又与等价，所以上述结论对的行向量亦成立.由此可见，正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基.比如：，，都是正交矩阵.注正交矩阵的性质：设均为正交矩阵，则1.，因此为满秩矩阵；2.，并

6、且也是正交矩阵；3.也是正交矩阵.定义5若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.设为正交变换，则有.按表示向量的长度，相当于线段的长度.说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性.Ⅴ小结与提问：小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质.2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等式保证的，因为对任何非零向量，由施瓦兹不等式有.从而才有意义.3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位化，后正交化.4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵是正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量组是正交规范组，这

7、是实际计算中求正交矩阵的根据.提问：1.向量空间的规范正交基是否唯一？2.、均是正交阵，是正交阵吗？Ⅵ课外作业：1.（2）2.（1）3.第二讲Ⅰ授课题目：§5.2方阵的特征值与特征向量Ⅱ教学目的与要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。Ⅲ教学重点与难点：重点：矩阵的特征值与特征向量的概念难点：矩阵的特征值与特征向量的性质及求法Ⅳ讲授内容：一、特征值与特征向量的定义定义1:设是阶方阵，数和维若非零列向量，使得成立，则称是方阵的一个特征值,为方阵的对应于特征值的一个特征向量。注