欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:30192086
大小:638.04 KB
页数:12页
时间:2018-12-27
《正交向量组及施密特正交法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第一讲Ⅰ授课题目:§5.1预备知识:向量的内积Ⅱ教学目的与要求:1.了解向量的内积及正交向量组的概念;1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法;2.了解正交矩阵概念及性质。Ⅲ教学重点与难点:重点:正交向量组及正交矩阵难点:施密特正交化方法Ⅳ讲授内容:一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算,但在许多实际问题中,还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此,作为解析几何中向量的数量积的推广,引进向量的内积运算.定义1设有维向量,,令,称为向量与的内积.内积是向量的一种运算,用矩阵记号表示,当与都是列向量时,有.内积具有下列性质(其中为维向量,为实数):①;
2、②;③.例1设有两个四维向量,.求及.解维向量的内积是数量积的一种推广,但维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来,利用内积来定义维向量的长度和夹角:定义2令=,则称为维向量的长度(或范数).向量的长度具有下列性质:①非负性当时,,当时,;②齐次性;③三角不等式.向量的内积满足施瓦兹不等式由此可得(当时)于是有下面的定义:当,时,称为维向量的夹角.二、正交向量组当时,称向量与正交.显然,若,则与任意向量都正交.两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理1若维向量是一组两两正交的非零向量组,则线性无关.证明设有使,以左乘
3、上式两端,得,因,故,从而必有.类似可证.于是向量组线性无关.注1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明:在维向量空间中,两两正交的向量不能超过个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量;空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基.例如个两两正交的维非零向量,可构成向量空间的一个正交基.例2已知3维向量空间中两个向量,正交,试求一个非零向量,使两两正交.解记,应满足齐次线性方程,即,由,得,从而有基础解系,取即合所求.定义3设维向量是向量空间的一个基,如果两两正交,且都是单位向量,则称是的一个规范正交基
4、.若是的一个规范正交基,那么中任一向量应能由线性表示,设表示式为.为求其中的系数,可用左乘上式,有,即.设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量,使与等价.这样一个问题,称为把这个基规范正交化.以下办法可把规范正交化:取;;…….容易验证两两正交,且与等价.然后只要把它们单位化,即取,,……,,就得的一个规范正交基.上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.它不仅满足与等价,还满足:对任何,向量组与等价.例3设,,,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解取;;.再把它们单位化,取,,.即合所求
5、.例4已知,求一组非零向量,使两两正交.解应满足方程,即.它的基础解系为,.把基础解系正交化,即合所求.亦即取,.于是得,.三、正交矩阵在平面解析几何中,坐标轴的旋转变换为对应的矩阵,显然.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4如果阶矩阵满足(即),称为正交矩阵.上式用的列向量表示,既是,亦即,这也就是个关系式().这就说明:方阵为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位鲜花量,且两两正交.又与等价,所以上述结论对的行向量亦成立.由此可见,正交矩阵的个列(行)向量构成向量空间的一个规范正交基.比如:,,都是正交矩阵.注正交矩阵的性质:设均为正交矩阵,则1.,因此为满秩矩阵;2.,并
6、且也是正交矩阵;3.也是正交矩阵.定义5若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换.设为正交变换,则有.按表示向量的长度,相当于线段的长度.说明经正交变换线段长度保持不变,这正是正交变换的优良特性.Ⅴ小结与提问:小结:1.内积是计算向量的长、夹角的基础,须掌握其计算和运算性质.2.向量的夹角是对两个非零向量定义的,这个定义的合理性是由施瓦兹不等式保证的,因为对任何非零向量,由施瓦兹不等式有.从而才有意义.3.把线性无关的向量组正交规范化,须先正交化,后单位化,而不能先单位化,后正交化.4.正交矩阵是一类重要的矩阵,一个矩阵是正交矩阵的充分必要条件是的行(列)向量组是正交规范组,这
7、是实际计算中求正交矩阵的根据.提问:1.向量空间的规范正交基是否唯一?2.、均是正交阵,是正交阵吗?Ⅵ课外作业:1.(2)2.(1)3.第二讲Ⅰ授课题目:§5.2方阵的特征值与特征向量Ⅱ教学目的与要求:1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。Ⅲ教学重点与难点:重点:矩阵的特征值与特征向量的概念难点:矩阵的特征值与特征向量的性质及求法Ⅳ讲授内容:一、特征值与特征向量的定义定义1:设是阶方阵,数和维若非零列向量,使得成立,则称是方阵的一个特征值,为方阵的对应于特征值的一个特征向量。注
此文档下载收益归作者所有