正交基施密特方法.pdf

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1、格拉姆－施密特正交化维基百科，自由的百科全书（重定向自Gram-Schmidt正交化）在线性代数中，如果内积空间上的一组矢量能够张成一个子空间，那么这一组矢量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进线性代数一步求出对应的标准正交基。这种正交化方法以JørgenPedersenGram和ErhardSchmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（

2、Iwasawadecomposition）。矢量·矩阵·行列式·在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。线性空间因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。矢量标量·矢量·矢量空间·矢量投影·外积·内积·目录叉积·点积·1记法矩阵与行列式2基本思想矩阵·行列式·线性方程组·3算法秩·核·迹·单位矩阵·4不同的形式初等矩阵·方块矩阵·5参见分块矩阵·三角矩阵·非奇异方阵·转置矩阵·逆矩阵·对角矩阵·记法可对角化矩阵·对称矩阵·反对称矩阵

3、·正交矩阵·埃尔米特矩阵·：维数为n的内积空间反埃尔米特矩阵·酉矩阵·：中的元素，可以是矢量、函数，等等正规矩阵·伴随矩阵·：与的内积余因子矩阵·共轭转置·：、……张成的子空间正定矩阵·幂零矩阵·矩阵分解（LU分解·：在上的投影奇异值分解·QR分解·极分解·特征分解）·子式和余子式·拉普拉斯展开·基本思想线性空间与线性变换Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。线性空间·线性变换·线性子空间·线性生成空间·设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。由投影原理知，与其基

4、·线性映射·在上的投影之差线性投影线性无关·线性组合·线性泛函·行空间与列空间·对偶空间·正交·特征矢量·最小二乘法·格拉姆-施密特正交化·是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。根据上述分析，对于矢量组张成的空间()，只要从其中一个矢量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要确定已有基底矢量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

5、图1在上投影，构造上的正交基这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。例考察如下欧几里得空间Rn中矢量的集合，欧氏空间上内积的定义为=bTa：下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交矢量：下面验证矢量与的正交性：将这些矢量单位化：于是就是的一组标准正交基底。不同的形式随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。例如，在实矢量空间上，内积定义为：在复矢量空间上，内积定义为：函数之间的内积则定义为：与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化

6、就具有不同的形式。参见内积空间内积正交QR分解来自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=格拉姆－施密特正交化&oldid=20915183”本页面最后修订于2012年4月28日(星期六)06:16。本站的全部文字在知识共享署名-相同方式共享3.0协议之条款下提供，附加条款亦可能应用。（请参阅使用条款）Wikipedia®和维基百科标志是维基媒体基金会的注册商标；维基™是维基媒体基金会的商标。维基媒体基金会是在美国佛罗里达州登记的501(c)(3)免税、非营利、慈善机构。