线性代数—向量组的秩

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向量组的秩第四节1 一个向量组的一个部分组称为一个极大(线性)无关组,如果它是线性无关的,但再任意添一个向量(如果还有的话)所得向量组线性相关.定义一个线性无关的向量组,它的极大无关组就是它本身.任何一个向量组,只要它含有非零向量,就一定有极大无关组.☎☎2 例如，设有向量组3 一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.定理证明首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.其余的向量从而(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.因此(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.定理4 由等价的传递性可知,一个向量组的任两个极大无关组彼此等价,由前面性质6可知,向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同。定义向量组的任一极大无关组所包含的向量的个数称为向量组的秩。(6)两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.规定：只含零向量的向量组的秩为零.性质：(1)若向量组(Ⅰ)能被向量组(Ⅱ)线性表出,则秩(Ⅰ)秩(Ⅱ).(2)等价的向量组必有相同的秩.5 定义矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。定理矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩。==证略由于矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩，==将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。基本问题：给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。6 例1解设向量组求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.只做行变换，化为阶梯形7 8 9 10 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示例2解11 秩为2。12 定理设矩阵A,B可以相乘,则有证即AB的每个列向量是A的列向量组的线性组合,若向量组(Ⅰ)能被向量组(Ⅱ)线性表出,则秩(Ⅰ)秩(Ⅱ).同时，13 推论若P,Q为可逆矩阵,则有证或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。14 例3证其中15 所以A可逆，有相同的秩。16 例4证17 练习：P141习题三18