线性代数2.4向量组的秩

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1、设有两个向量组1,2,…,s(A)1,2,…,t(B)如果组(A)中的每个向量如果组(A)中的每个向量都可以由向量组(B)线性表示;则称向量组(A)可以由向量组(B)线性表示.组(B)中的每个向量则称这两个向量组可以互相线性表示,或称这两个向量组等价.都可以由向量组(B)线性表示,都可以由向量组(A)线性表示,如(A)(B)组(A)可以由组(B)线性表示.组(B)可以由组(A)线性表示.这两个向量组等价.1,2,…,s(A)1,2,…,t(B)1,2,…,p(C)如果向量组(A)可以由向量组(B)线性表示,如1,2(A)1,2(B)1,

2、2(C)即1可以由1,2线性表示,向量组(B)又可以由向量组(C)线性表示,则向量组(A)可以由向量组(C)线性表示.同理2可以由1,2线性表示即向量组(A)可以由向量组(C)线性表示.定理2.9设有两个向量组1,2,…,s(A)1,2,…,t(B)若s

3、t＞s向量组(B)线性相关设向量组(B)t≤s向量组(B)线性无关结论：若向量组(B)推论若向量组(A)和(B)可以互相线性表示，证:(B)可以由(A)线性表示,∴s=t两个向量组都线性无关，(A)可以由(B)线性表示，且(B)线性无关，则t≤s且向量组(A),(B)都线性无关，则s=t则它们所含向量的个数相同。且(B)线性无关，∴t≤s且(A)线性无关，∴s≤t且能互相线性表示，可以由向量组(A)线性表示可以由向量组(A)线性表示,两个线性无关的向量组,向量组的极大无关组，例考虑向量组此向量组线性相关。（维数2是向量组的一部分,称为向量组的部分组.线性无关,称为向量组的线性

4、无关的部分组.<所含向量的个数4)如果能互相线性表示,则它们所含向量的个数相同。向量组的秩是向量组的线性无关的部分组.线性相关.线性相关.是向量组的一部分.线性无关.(3)从向量组中,再取一个加入到线性相关.是向量组得到的向量组的一个极大线无关组.例考虑向量组是向量组线性无关.线性相关.线性相关.线性相关.线性相关.(3)从向量组中,线性相关.的到的向量组再取一个加入到称为向量组的一部分.的一个极大线无关组.例考虑向量组是向量组线性无关.线性相关.线性相关.(3)从向量组中,线性相关.得到的向量组再取一个加入到称为向量组的一部分.的一个极大线性无关组.一般地,给定向量组从中取

5、出r个向量得到的向量组线性相关.则称极大线无关组.加入到其中，若这个部分组满足：定义2.11如果n维向量组满足下述条件:(1)线性无关(2)在向量组则部分组向量组中的任一向量中的一个部分组中,任取一个向量,添加到部分组中,所得到的新的部分组都线性相关.称为向量组的一个极大无关组.都可以由其极大无关组线性表示.向量组中的任一向量证设有向量组不妨设它的一个极大无关组是根据极大无关组的定义,(**)线性相关.故r+1可由故r+2可由线性相关.故s可由线性相关.故向量组可由其极大无关组1,2,…,r,线性无关,而1可由2可由r可由线性表示.线性表示.线性表示.线性表

6、示.线性表示.线性表示.线性表示.都可以由其极大无关组线性表示.删定义2.11′如果n维向量组满足下述条件:(1)线性无关(2)原向量组则部分组定义2.11和定义2.11’线性表示.称为向量组的一个极大无关组.中的一个中任意一个向量都可以由是极大无关组的两个等价定义.例考虑向量组线性无关.向量组中每一个向量都可以由线性表示,是该向量组的极大无关组.定理2.8向量组与其极大无关组证设有向量组不妨设它的一个极大无关组是(**)已证向量组(*)反之,1可以由向量组(*)线性表示2可以由向量组(*)线性表示r可以由向量组(*)线性表示等等故极大无关组(**)可以由向量组(*)线

7、性表示.证毕从而极大无关组(**)和向量组(*)等价.即向量组与其极大无关组等价.可以互相线性表示,可以由其极大无关组(**)线性表示.例向量组是向量组的一个部分组.(2)向量组中任一向量都可以由向量组的极大线无关组.α1为向量组的一个极大线无关组.一个向量组的极大无关组是不唯一的.是向量组的一个极大线无关组.是向量组的一个部分组.(2)向量组中每一向量都可以由向量组的极大线无关组.定理向量组1,2,…,s则都线性无关,向量组(*)与其极大无关组可以互相线性表示.故极大无关组(**)和(***)可