厄米算符的本征值与本征函数

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1、§3.5厄米算符的本征值与本征函数1.厄米算符的平均值定理I：体系任何状态ψ下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明）逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明）推论：设Â为厄米算符，则在任意态ψ之下AdA2*=τψψˆ2=dAAτ()ˆˆψψ*≥0∫∫2.厄米算符的本征方程1).涨落涨落定义为()ΔA2=−()AAˆ2证明:()ΔA2=−(AAˆ)2≥02).力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量A所得结果是唯一确定的，即：2()0Δ=A则称这种状态为力学量A的本征态。()AAˆ−=ψ0或Aˆψ=常数

2、×ψ可把常数记为An，把状态记为ψn，于是得：AAˆψ=ψ(1)nnn其中An,ψn分别称为算符Â的本征值和相应的本征态，式(1)即算符Â的本征方程。定理II：厄米算符的本征值必为实。（证明）3.量子力学中的力学量用线性厄米算符表示1).表示力学量的算符必为线性算符；2).表示力学量的算符必为厄密算符。∞∞**例1：∫ψxφdx=∫(xψ)φdx（Qx为实数）−∞−∞∞∞**例2：ψpˆˆφψdx=()pφdx∫∫xx−∞−∞2pˆ例3：证明HVˆ=+x()x为厄密算符2m综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定

3、是力学量算符。13).力学量算符和力学量之间的关系测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符Â的本征值An（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符Â的本征方程AAˆψ=ψn=1,2,Lnnn当体系处于Â的本征态ψn时，则每次测量所得结果都是完全确定的，即An。4.厄米算符的本征函数的正交性1).正交性的定义*如果两函数ψ1和ψ2满足关系式∫ψ1ψ2dτ=0，则称ψ1和ψ2相互正交。2).定理III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）()Adˆψ**ψτ=Aψψτd∫∫mnmmn()AdAˆˆψ**ψτψψ

4、=dτ=Adψ*ψτ∫∫mnmnnmn∫3).分立谱、连续谱正交归一表示式①.分立谱正交归一条件分别为：*ψψτd=1归一化条件∫nn*ψψτd=0(mn≠)正交性∫mn引用δmn称为克朗内克（Kronecker）符号，它具有如下性质：⎧⎪0mn≠δ=⎨mn⎪⎩1mn=把(3)与(4)式合写为*ψψτδd=∫mnmn②.连续谱正交归一条件表示为：*∫ψλλψτδλλ′d=−()′③.正交归一系满足上式的函数系ψn或ψλ称为正交归一（函数）系5.简并情况如果Â的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：ψnα，α=1,2

5、,…,fn满足本征方程：2AAˆψ=ψα=1,2,L,fnnαnαn一般说来，这些函数并不一定正交。但是可以证明由这fn个函数可以线性组合成fn个独立的新函数，它们仍属于本征值An且满足正交归一化条件。算符Â本征值An简并的本质是：当An确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，Â算符与这些算符两两对易，其本征值与An一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。6.实例1).动量本征

6、函数组成正交归一系*vvvvvψv(r)ψv(r)rd=δ(p−p′)∫p′pvv当p≠p′时，*vvvψv(r)ψv(r)rd=0∫p′p即属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψv与ψv相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共p′p有的。2).线性谐振子能量本征函数组成正交归一系线性谐振子的能量本征函数122−αxψ=Ne2H(αx)nnn∞*组成正交归一系：∫ψnψn′dx=δnn′−∞3).角动量本征函数组成正交归一系①.lz本征函数角动量算符lˆ的本征函数z1imϕψ()ϕ=e(m=,0±,1±,2K)m2π组成正交归一系：2π

7、*∫ψmm()()ϕψϕϕδ′d=mm′(7)0②.lˆ2本征函数3角动量平方算符lˆ2属于本征值(ll+)1h2的本征函数YlmmimϕY(θ,ϕ)=NP(cosθ)elmlmlππ2*组成正交归一系：∫∫Ylm(θ,ϕ)Yl′m(θ,ϕ)sinθdθdϕ=δll′(8)00ππ2*(7)和(8)可合写为∫∫Ylm(θ,ϕ)Yl′m′(θ,ϕ)sinθdθdϕ=δll′δmm′(9)004