厄米算符的本征值与本征函数

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1、量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第七讲厄米算符的本征值与本征函数角动量的本征值与本征函数1第七讲目录一、厄米算符回顾二、再论统计诠释三、厄米算符的本征值与本征函数四、角动量的本征值与本征函数五、例题2一、厄米算符回顾(1)1、转置算符:2、共轭算符3、厄米共轭算符,则的共轭转置算符称为的厄米共轭算符记为:即3一、厄米算符回顾(2)4、厄米算符5、厄米算符的平均值定理：厄米算符的平均值为实数。逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符4一、厄米算符回顾(3)推论2：厄米算符平方的平均值大于等于零推论1：量子力学中，力学量用算符表示。由于力学量是实验上可测

2、量，这就要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄米算符。5二、再论统计诠释统计诠释若粒子处于量子态，则表示粒子出现在点附近的概率。若测量该粒子的力学量时，一般来说，可能出现各种不同的结果，各有一定的概率。问题：1、是否可以确定“各种不同的结果”？（即给出测量值的样本空间。）2、是否可以确定“不同结果的概率”？（即给出测量值的概率分布。）6三、厄米算符的本征值与本征函数(1)1、本征函数（本征态）和本征值（1）处于量子态的粒子，对其测量力学量，可能出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋于一个确定值，即平均值（期望）：，每次测量结果则围绕平

3、均值有一个涨落（方差）。定义为：因为是厄米算符，必为实数，因此也是厄米算符根据前述的推论2：7三、厄米算符的本征值与本征函数(2)1、本征函数（本征态）和本征值（2）若，涨落为零，其物理含义为：测量所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量所得结果是以概率1取值。改记为：8三、厄米算符的本征值与本征函数(3)该方程称为算符的本征方程，称为算符的本征值，称为对应于本征值的本征态。1、本征函数（本征态）和本征值（2）量子力学的基本假设4:设体系处在任意状态下，则测量其力学量时所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符的本征值。若体系状态处在厄米算符的本征态下，测量结果以概

4、率1取，即取确定值。9三、厄米算符的本征值与本征函数(5)2、几个定理（1）定理1：厄米算符的本征值必为实数。设为厄米算符，和为该算符的本征态与本征值，即：【证明】：设为在本征态下的平均值，即：即：前已证明：厄米算符在任意状态下的平均值均为实数，因此定理得证。即为实数。10三、厄米算符的本征值与本征函数(6)2、几个定理（2）定理2：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。【证明】：设为厄米算符，有：有：左乘,全空间积分有：即：且：11三、厄米算符的本征值与本征函数(7)因为是厄米算符，即，所以即：已证明：定理得证2、几个定理（3）12三、厄米算符的本征值

5、与本征函数(8)2、几个定理（4）正交归一化的表示：13四、角动量的本征值与本征函数（1）1、角动量及其算符(1)角动量：对应的算符为：直角坐标系下：计算得到：14四、角动量的本征值与本征函数（2）1、角动量及其算符(2)球坐标下：15直角坐标与球坐标的变换关系xz球坐标ry这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)球坐标将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）则有：将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：16将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标

6、中的表达式为：xz球坐标ry17四、角动量的本征值与本征函数（3）2、角动量分量的本征值与本征函数(1)设本征值与本征函数为和，本征方程为：解为：其中为归一化常数当，系统将回到原来的位置，由波函数的单值性要求，有：，即：是量子化的相应的本征函数：18四、角动量的本征值与本征函数（4）2、角动量分量的本征值与本征函数(2)由归一化条件，有：所以：可证明以下情况：归一：正交：即：19四、角动量的本征值与本征函数（5）3、平面转子的本征值与本征函数(1)经典力学中：绕轴转动的平面转子的哈密顿量为：量子力学中：对应的哈密顿算符：所以绕轴转动的平面转子能量本征方程写为

7、：20四、角动量的本征值与本征函数（6）3、平面转子的本征值与本征函数(2)波函数的单值性要求：其中：21四、角动量的本征值与本征函数（7）解的讨论：除以外，一个对应两个3、平面转子的本征值与本征函数(3)简并：同一个本征值对应于多个本征函数。根据归一化条件，可得：可验证：22四、角动量的本征值与本征函数（8）4、动量分量的本征值与本征函数设本征值与本征函数为和，本征方程为：若，则，为连续变化：所以称为连续谱本征函数：不能用一般的方式进行归一化23四、角动量的本征值与本征函数（9）4、一维自由粒子的能量本征态一维自由粒子的哈密顿量算符为：能量本征方程为：解为：一

8、个对应两个，所以称能级是