3.5厄米算符本征函数的正交性

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1、§3.5厄米算符本征函数的正交性已知表示力学量的算符都是厄米算符。厄米算符有二个重要的性质：a.厄米算符本征值是实数；b.厄米算符本征函数是正交的。本节来介绍厄米算符第二个性质。1．什么叫二个函数Ψ1、Ψ2的正交？若（积分是对变量变化的全部区域进行），则称Ψ1、Ψ2相互正交。(3.5.1）2．厄米算符本征函数是正交的分二步证明，先证属不同本征值的本征函数相互正交，再证属同一本征值的不同本征函数也可弄成相互正交。a.属不同本征值的本征函数相互正交。设Φ1、Φ2、…是厄米算符的本征函数，它们对应的本征值为λ1、λ2、…，则有已知并且(3.5-2）(3.5-4）(3.5-5）(3

2、.5-3）证明：左边右边所以，得，，（∵λk≠λl）(3.5.8）由厄米算符的定义这就是我们所要证明的.（2）分立谱、连续谱正交归一表示式满足上式的函数系φn或φλ称为正交归一（函数）系。1.分立谱正交归一条件分别为：2.连续谱正交归一条件表示为(3.5-9）(3.5-10）(3.5-11）可合并为：简并情况如果F的本征值λn是f度简并的，则对应λn有f个本征函数：φn1,φn2,...,φnf一般说来，这些函数并不一定正交。但是上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。满足本征方程：可以证明由这f个函数可以线性组合成f个独立的新函

3、数,它们仍属于本征值λn且满足正交归一化条件。证明由这f个φni线性组合成f个新函数ψnj可以满足正交归一化条件：证明分如下两步进行1.Ψnj是本征值Fn的本征函数。2.满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。(3.5-12）(3.5-13）1.ψnj是本征值Fn的本征函数。2.满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。方程的归一化条件有f个，正交条件有f(f-1)/2个，所以共有独立方程数为二者之和等于f(f+1)/2。为此只需证明线性叠加系数Aji的个数f2大于或等于正交归一条件方程个数即可。综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所

4、以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为f2-f(f+1)/2=f(f-1)/2≥0，所以，方程个数少于待定系数Aji的个数，因而，我们有多种可能来确定这f2个系数使上式成立。f个新函数Ψnj的确是算符F对应于本征值的正交归一化的本征函数。（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系（1）动量本征函数组成正交归一系实例（3）角动量本征函数组成正交归一系1.Lz本征函数2.L2本征函数（4）氢原子波函数组成正交归一系