厄米算符的本征值与本征函数

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1、来描述其状态的大量完全相同的体系(系综),如进行多次测量,所得结果的平均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结果则围绕平均值有一个涨落.对于都用涨落定义为涨落3.2厄米算符的本征值与本征函数厄米算符,再利用3.1节所学知识,有因为为厄米算符,必为实数,因而仍为(1)(2)如果体系处于一种特殊的态,测量所得结果是唯一确定的,即涨落,则这种状态称为力学量的本征态.在本征态下,由式(2)可以看出,被积函数必须为零,即必须满足或一般,把常数记为,并把本征态记为,得到称为的一个本征值,为相应的本征态.上式即算符的本征方程.注意求解时,作为力学

2、量的本征态,还要满足物理上的一些要求.测量力学量时所有可能出现的值,都是相应的线性厄米算符的本征值.当体系处于的本征态时,则每次测量所得结果都是完全确定的,即.量子力学中的一个基本假定:推出所以,在态下(设已归一化)定理1厄米算符的本征值必为实.厄米算符的本征函数的一个基本性质:定理2厄米算符的属于不同本征值的本征函数,彼此正交.证明如下:设并设存在,对取复共轭,得到上式右乘,积分,得到由于,上式左边=,因此得如,则必有简并问题在能级简并的情况下,仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来.在处理力学量本征问题时,特别是能量的

3、本征值问题,常常出现本征态的简并,这与体系的对称性有密切关系.设力学量的本征方程表为即属于本征值的本征态有个,则称本征值为重简并.出现简并时,简并态的选择是不唯一的,而且也不一定彼此正交,但总可以把它们适当线性叠加,使之彼此正交.在线性代数中,通常采用Schmidt正交化程序来进行正交化.令因为所以只要选择,使,即可得证.证明如下在常见问题中,当出现简并时,往往是用(除之外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类,从而把它的简并态确定下来.两个力学量是否可以有共同本征态?或者说是否可以同时测定?此时,正交性问题将自动解决.这就涉及

4、两个或多个力学量的共同本征态问题.这将是下一节不确定度关系要讨论的问题!