刘觉平量子力学作业7.docx

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1、习题七4-5．粒子在一维势场中运动。试求：(1)能级和相应的波函数(2)当粒子处于本征态，证明。解：（1）在势场内体系满足定态薛定谔方程为即方程的解为由得又由得量子化条件∴当或者时∴（2）波函数满足归一化条件代入方程得∴∴，4-18．一维粒子被下述势场束缚在坐标原点。求基态的波函数和能量；存在束缚的激发态吗？解：定态薛定谔方程为：将上式在附近积分：令得：因为跃变有限，所以在x=0两侧连续令：所以：所以：，其中C为归一化常数因为：，所以：，这是唯一束缚态能级，不存在束缚的激发态，又有归一化条件得：，所以：5-5．对于两个自旋1/2的粒子，令，，定义张量算符(1)证明，其

2、中；(2)求的本征值。解：（1）以及在上的投影可以写成：∵∴∴由（4）（5）得又∵以点乘上式得（8）式取上的投影：代入（7）中得到：（2）式（6）（9）表明均对易，以乘以式（6）并利用其他式子得：以乘以（9）式并利用上式得：即∴本征值有-4、0、25-6．两个大小相等、属于不同自由度的角动量和耦合成总角动量，求在总角动量的情况下，和的可能取值和相应的概率。解：取，设则，本征态记为，本征态记为，共同本征态记为，其中M为本征值，简记为J=0时，M=0，，所以其中为时的CG系数即取m的概率∵正定所以其中又因为，其中，其中∴∵∴各基矢线性独立∴∴，∵均为正交归一的，而m有2j

3、+1种取值又有∴取则∴取各本征值的概率相等，均为