量子力学作业参考答案(刘觉平)

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1、习题一1.计算下列情况的Einstein-deBroglie波长，指出哪种过程要用量子力学处理：（1）能量为0.025eV的慢中子被铀吸收；（2）能量为5MeV的α粒子穿过原子；（3）飞行速度为质量为的子弹的运动。解：（1）由注意到：>>0.025得利用Einstein-deBroglie关系得：而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比小，因此要用量子力学处理。（2）由注意到：>>得利用Einstein-deBroglie关系得：这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。（3）显然子弹不是相对

2、论的，故可利用。代入Einstein-deBroglie关系得：，这比子弹的运动尺度小的多，不需用量子力学处理。2.两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对.如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？解：若会发生这种转化，由能量守恒的限制，两个光子的能量必须要大于正负电子对的静能即。光子能量，得到。3.考虑如下实验：一束电子射向刻有A、B两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕。利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置。在下列各情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单的解释

3、。（1）A缝开启，B缝关闭；（2）B缝开启，A缝关闭；（3）两缝均开启。（4）将Stern-Gerlach装置连在缝上，使得只有电子能通过A，同时只有电子能通过B。（5）只有能通过A，同时只有电子能通过B。如果使束流强度低到在任一时刻只有一个电子能通过该装置，结果有什么变化？解：（1）高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生单缝衍射，出现类似光衍射的强度分布。（2）O点为正对狭缝B的中心位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生单缝衍射，出现类似光衍射的强度分布。（3）O点为正对狭缝B的中心

4、位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生干涉，出现类似光干涉的强度分布。（4）0点为AB狭缝中点正对位置。高度代表强度。从AB经过的电子的状态不相同，而即发生干涉概率为0.图像为（1），（2）的简单叠加。（5）0点为AB狭缝中点正对位置，高度代表强度。一个电子所具有的波动性决定了强度的分布，这与多个电子的累加无关。4.设为对应力学量的算符，其本征值为一系列离散值：，现对量子态的大量复制品进行关于的重复测量，所得的实测值：（1）必为离散的；（2）不一定离散的。而每单次测量中，所得的实测值：（3）

5、必是的本征值；（4）可以为本征值以外的某个值。指出以上各种答案的对和错。解：（1）对（2）错（3）对（4）错。每一个本征态对应一个物理量，测量前系统以一定的概率分布处于不同的本征态，但一旦去测量时系统状态就确定了下来，是某个本征态，每一个本征值对应一个物理量，这个物理量就是物理量算符的本征值，其本征值为一系列离散值，必然有所得的实测值为离散的，也不可能是本征值以外的某个值。5.试证:对于任意算符有式中，，.解：等式左边为：==等式右边为：====左边因此等式成立。习题二6.将2´2矩阵写成式中，是Pau

6、li矩阵，，而都是数。试用矩阵表示出。解：得：7．试证明：a.矩阵的行列式在下述变换下下不变。假设方向矢量沿z轴正向.b.试用表示出。解：同取行列式得det()=由于解之得9．假设Hilbert空间由厄密算符A的非简并本征态矢所张成。a.试证是零算符。b.说明算符的意义。解：（1）（2）由可知当，；当，。由此可知此算符是选出矢量部分11．算符（相应于物理量）在和中的测量值分别为，算符(相应于物理量)在和中的测量值分别为b1和b2，而，我们首先测量，测得值为；接着测量，而后再测。求测得值为的概率。解：测量

7、时，系统处于态中，接着测量时，得到的概率为得到的概率为，而后再测，得到概率为而，；得2-1.在Hamilton量分立谱的束缚定态满足试证中动量的平均值恒为零。证明：由于而H为Hermitian算符，得即2-2在Hermitian算符的分立谱的本征态下，证明的平均值为零。解：对于A得2-3.从基本量子化条件出发，求坐标算符的本征值谱（讨论一维情况）。换言之，要求利用基本对易关系证明：如果是坐标算符的本征值，则也是坐标算符的本征值，其中，且连续可变。证明：由得即是常量算符注意到为平移无穷小算符，得即得故坐标

8、算符本征值谱是连续的，是坐标算符的本征值，则也是坐标算符的本征值。2-4．设是的整函数，证明。整函数是指可以展开成的函数。证明：对故=。在动量表象中，可得：同理得：习题四3-1．求出算符本征值和本征态。若对自旋态测量，结果为的概率是多少？解：由得由即本征值为，本征态为令求得故出现概率为。3-2．为角动量算符，，即，。若和为任意方向的矢量（注意：它们不是算符），证明：（1）；（2）（3）解：（1）==（2）证明：（3）证明：（）3-3.在自旋