分析力学基础.doc

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1、分析力学（第六章）．总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用；分析力学偏重于解析数学；两者风格不同，但在力学范围内完全等价，由于分析力学具有普适的表述方式，可推广到其它学科中应用。一．分析力学的基本概念1．系统描述相关的概念（1）力学系：n个相互作用着的质点构成的力学系统；（2）位形：力学系的位置状态；（3）约束：限制质点自由运动的条件；分类：几何约束（限制几何位置），微分约束（约束中包含速度）完整约束，不完整约束稳定约束（与时间无关），不稳定约束（与时间有关）可解约束（可以解除），不可解约束（不可以解除）（4）自由度s：描写力学系所须独立坐标的个数约束方程的个数自由度数目质点的个数（5）

2、广义坐标：s个独立坐标参量可以把体系3n个坐标参量表示出来：。s个独立坐标参量称为广义坐标（6）广义速度：广义速度分量的全体2．系统原理相关的概念（1）实位移：在时间间隔（）内发生的真实位移（2）虚位移：设想发生的位移（时间没变化，非真正的位移）在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个；在不稳定约束下，实位移不同于虚位移（P167,图6.2）；（1）虚功：力在虚位移下所作的功（2）理想约束：体系中约束力所作的功之和为零光滑曲面、曲线、铰链；不可伸长的杆、绳；固定点约束；固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。（3）拉格朗日函数（拉氏函数或拉格朗日量）体系的动能和势能之差适用于体系受保守力的情况

3、。（4）广义动量：为线量时，为动量分量；为角量时，为角动量分量；（5）广义力：的全体为线量时，为力的分量；为角量时，为力矩分量；（6）哈密顿函数（或哈密顿量）应把广义速度都看成的函数（7）正则变量：广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量；构成2s维抽象空间，任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点（称为相点）（10）泊松括号：体系的某一力学量，哈密顿量二．基本原理1．虚功原理质点i处于平衡状态：体系处于平衡状态：（1）坐标表示在理想约束的情况下，力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零：（2）广义坐标表示广义力分量体系处于平衡时，广义力分量都应等于零。2

4、．达朗贝儿原理质点：逆效力把动力学问题化为静力学问题；3．达朗贝儿-拉格朗日方程在理想约束条件下（1）坐标表示：（2）广义坐标表示：（1）分量表达式-拉格朗日方程组：由于每个广义坐标的变化是相互独立的，其变分前面的系数必须为零：其中力学体系的动能注意：约束力不出现；动能必须写成广义坐标、广义速度以及时间的函数。（4）保守力系统中的拉格朗日方程其中为拉格朗日函数保守力系统中拉格朗日方程的一种特殊情形：某一广义坐标在拉氏函数中不出现，则其对应的拉格朗日方程可简化为常量称为循环坐标；与它相应的第一积分称为广义动量积分或循环积分4．哈密顿原理（1）哈密顿函数哈密顿函数在稳定约束的情况下：动能

5、+势能在不稳定约束下：动能中包含广义速度二次项，动能中包含广义速度零次项（2）哈密顿正则方程上式共为2s个一阶常微分方程组，结合初始条件，可得到广义坐标和广义动量的表达式。（3）哈密顿函数随时间的变化率：对稳定约束，机械能守恒；对不稳定约束，机械能不守恒。若某一广义坐标在哈密顿函数中不出现，则，相应的广义动量积分常量注意：经典力学的确定论适用于哈密顿函数可积；若力学系不可积，则可能出现随机的混沌行为。（4）哈密顿原理I.数学预备知识泛函：以函数为变量的函数；泛函的变分：两个相近函数和给出的泛函值之差由于为任意微小函数，所以泛函变分的欧拉方程，若满足此方程，则相应泛函取极值II.哈密顿

6、原理定义哈密顿作用量：是关于的泛函；与位形空间中由点通向点的轨道密切相关。哈密顿原理：对一个保守的完整力学系，其运动真实轨道的哈密顿作用量为极值。（广义坐标空间）（相空间）注意：可以从作用量的变分为零来确定真实的轨道。几个惯用术语1.自由度、广义坐标与广义动量自由度：确定体系中粒子位置的独立参量f=3N-S广义坐标：描述体系空间状态的坐标参数qf广义速度：广义动量：2.哈密顿函数H(p,q)=T(p,q)+u(q)动能+势能能量恒定的体系：总能量=动能+势能H=E独立子系，无相互作用，则：u(q)=0相倚子系，u(q)≠0，则：拉普拉斯算符测不准关系式h≈△x+△px哈密顿算符波函数

7、采用定态波函数独立子系：相倚子系：吴世海编辑整理