[精品]分析力学基础

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1、《分析力学基础》课程总结学号:201020507004姓名:张世华分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。乂如太阳系可看作自由质点系，星体间的相互作用是万有引力，研究太阳系屮行星和卫星运动的天体力学,同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。不同的

2、系统所遵循的运动微分方程不同；研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数随Z降低，更易于求解。木学期通过对梅凤翔先生编著的《分析力学基础》的学习，详细了解了虚位移原理、达朗贝尔原理及它们同动力学普遍方程的关系，拉格朗日方程及其应用，哈密顿止则方程及止则变换，力学变分原理等很多分析力淫的基础知识，下而就所学知识做简单总结。一、虚位移原理虚

3、位移原理也称虚功原理，是指在双血、理想、完整、稳定约束下，力学系统平衡的充要条件是作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和等于零。用矢量形式方程可表示为：N05=0/=1广义坐标形式为：=°5=1其中G=乞（伦単+®学+化•吳）是与广义坐标乞相应的广义力。/=1两dqsdqs虚位移原理是静力学的最普遍原理，是从功的观点来研究力学系统平衡的，由它可推导出全部静力学。二、达册贝尔原理设质点系由n个质量为“的质点组成，毎一质点的加速度为勺=rt,惯性力0=-min,则在每一瞬时,主动力巧，约束力/?,及假想的惯性力0必

4、互相平衡，即片+尺+0,=0（i二1,2,…，N）,这就是达朗贝尔原理，也可NNN表示成力矩的形式工（*><£•）+工（存0）+工（护尺）=0。/=!/=!/=!达朗贝尔原理有重要的应用和理论价值，它能把动力学问题用静力平衡方法来解，即所谓“动静法”，并与虚位移原理结合构成“动力学普遍方程”。三、动力学普遍方程动力学普遍方程亦称达朗贝尔-拉格朗F1原理，它是分析力学的基础，由它可推导出完整约束系统的第二类拉格朗日方程，对于解决约束较多的系统动力学问题也提供很大方便。设由N个质点组成的系统，具有任意的双面约束，根据达朗贝

5、尔原理，在每一瞬吋，满足平衡条件：工（耳+0+尺）=0,对/=1于满足平衡条件的力系可以应用由虚位移原理所表示的平衡条件。由达朗贝尔原理与虚位移原理联合，便可应用于运动的系统，即在任一瞬吋，加于系统质点上的所有主动力、约束力及惯性力在系统于该瞬吋所取位置的任何虚位移上的元功之和等于零。它N可表示为方程：工（耳+0+尺）・輕=0/=!将0=-miai=~mir代入得r+Ft4-7?.•场=0/N由于加在系统上的约束都是理想约束，即£心心=0/=!方程变为N/=1这就是动力学普遍方程。举例：如下图所示系统，均质滚子A.滑

6、轮〃重量和半径均为0和r,滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为6Z,重量为重物重量几试用动力学普遍方程求地面给三角块的水平反力。解：一，求加速度和角加速度图二首先研究整体，加惯性力和惯性力偶，如图二所示,Ml()2gMlcier2r2g给系统虚位移，关系为：=rd(p列动力学普遍方程：工叫+^3WFj=0-(P+FIP)-3r-MI0・d(p+(Qsina-Fic)-3rc-MIC・6(p=0联立方程解得:esm^-pac=Qsina-Pgac~P^2Q8rP+2Qr二，求地面水平反力研究整体，解除地面的水平约束，代之以

7、水平反力x,如图三,给系统虚位移，列动力学普遍方程：YSW+1L6W=0FF[即X・Sr+FIC・5厂=0v_0(Osina-P)P+2QX=cosct四、拉格朗日方程拉格朗日方程是完整约束系统分析力学的基础，具冇广泛的应用价值，它是根据动力学普遍方程的广义坐标形式加上两个经典的拉格朗日关系推导出来的。根据动力学普遍方程N/=1将质点的虚位移用广义坐标表示为n（N代入得zzs=I/=!两个经典的拉格朗日关系为1N（・f以及动能r=；；.2i=i）dTN且討签辺为广义力，广义坐标形式的动力学普遍方程可化N为立1=1dS

8、TdtSqsdT勿，因广义坐标彼此独立，可得n个方程:即为第二类拉格朗FI方程。显然方程的最终形式决定于系统动能对广义坐标和广义速度的依赖关系，决定于系统的主动力。只要找出方程屮系统动能的全部运算及广义力，就能写出运动方程。五、哈密顿正则方程及正则变换首先引进广义动量p5=—=—(s=l,2,-,n)%叽由动能表达式知ps二£4*