分析力学基础

《分析力学基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、分析力学基础引言研究机械系统或结构动力学问题时，当简化的力学模型被确定之后，正确地建立系统的动力学方程就成为首要任务。将实际系统简化成单自由度或两自由度系统之后，主要应用牛顿运动定律及其推论来建立振动微分方程。这种我们所熟知的动力学中所提供的方法，仍将是今后建立多自由度系统的弹性体振动的基本方法。但这一方法是按照各质点或刚体的运动来建立方程的，为此常常要引入那些未知的约束反力。对于某些复杂的系统，采用这样的方法来建立力或力矩同速度、加速度等运动量之间的矢量关系不仅显得复杂，而且引入了那些我们不必知道的未知约束反力。分析力学基础引言分析力学的方法：从能量观点上统一建立起来的

2、系统的动能T、势能U和功W之间的标量关系。它是研究静动力学问题的一个普遍的、简单而又统一的方法。尽管在建立有关概念和推证方面要花费一点力气，但在应用上会带来不少方便。引用广义座标的概念，把它们作为描述系统运动状态的独立参数，从而正确地建立起系统自由度的概念。把系统的动能T、势能U和功W等标量形式的物理量表达为广义坐标及其导数的函数。先在静力平衡的基础上建立虚位移原理，并应用达伦贝尔（D’Alembert）原理将它推广到动力学问题，从而建立了动力学普遍方程式。由此出发推证了有广泛应用的拉格朗日（Lagrange）方程,为建立多自由度系统振动微分方程提供了一种较为简便的统一方

3、法。分析力学基础自由度和广义座标若系统用某一组独立的座标（参数）就能完全确定系统的运动，则这组座标为广义坐标。完全确定系统运动所需的独立座标数目称为自由度。通常广义座标的数目和自由度相等。例约束对系统的运动在几何位置上的限制称为约束，这种限制可以通过方程式表示，这类方程式称为约束方程式。约束使系统的自由度减少。如由N个质点组成的质点系，有S个约束方程式，则它的自由度为3N-S（三维空间）。分析力学基础自由度和广义座标要确定自由刚体的空间运动需要用六个独立的参数，自由刚体在空间的一般运动具有六个自由度。约束的分类非完整约束：约束方程含有不能积分的速度项的约束完整约束：约束方

4、程只包含座标本身和常数项或显含时间t的约束非定常约束：约束方程中显含时间t的约束定常约束：约束方程式中只包含座标及常数项有时系统受到的约束，不仅与座标有关，同时还包含有速度，即在运动学上受到限制。具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义座标数，而是小于广义座标数。分析力学基础虚位移原理虚位移原理是把静力平衡条件通过功的原理来表达杠杆绕光滑支点转动的平衡条件这一关系可以通过功的形式来表示假如当杠杆绕支点转动一微小角度δφ时，A、B两点的微小位移分别为P、Q在各自位移上所作元功之和记作δW杠杆平衡时，必然满足条件即元功之和等于零分析力学基础虚位移原理可见，力的平衡条件等价

5、于元功之和等于零的条件虚位移原理涉及两方面的基本概念虚位移是指约束所许可的座标的微小改变量。它只是指约束所许可而并不一定是实际运动的真实位移，因此它和时间t的变化无关，为了强调虚位移是假想的座标的瞬时改变量，它只要求符合约束，用符号δ表示，以区别于用增量d表示的dt时间间隔内真正发生的真实位移。通常假设虚位移是无限小的力在虚位移上的元功称为虚功，虚位移原理有时也称虚功原理。分析力学基础虚位移原理虚位移是指约束所许可的座标的微小改变量。约束反力约束作用于系统的力称为约束反力虚位移原理：在理想约束下，质点系平衡的必要而充分的条件是所有主动力在虚位移上元功之和等于零。必要条件充

6、分条件以广义座标和广义力表达的虚功方程理想约束情况下，n个自由度系统平衡的必要和充分条件是n个广义力Qi等于零。例对应于广义座标qi的广义力虚功的表达式分析力学基础动能和势能分析力学是从能量观点上建立起来的，它利用广义座标来描述系统的运动。系统的动能T、势能U、和功W之间存在的本质上的关系是讨论的重点。首先建立动能和势能的概念以及它们和广义座标及其导数之间的关系。对于n个自由度系统可以用n个广义坐标和时间t来描述它的运动即系统中任意一点k的位置座标矢量可以表示为分析力学基础动能和势能系统中任一点k的位置座标矢量上式对时间t求一阶导数，可得该点的速度其中广义座标对时间的导数

7、称为广义速度速度是广义速度的线性函数质点k的质量为mk，它的动能系统的总动能为各质点动能的和动能T将是广义速度的零次、一次和二次函数分析力学基础动能和势能讨论约束和时间t无关的定常约束情况，各点的坐标只是广义坐标的函数而不显含t将上式代入动能表达式分析力学基础动能和势能改变求和的次序，上式成为上式中，圆括号内是与质量有关的系数，称为广义质量系数，一般情况下是广义座标qi的函数。引入符号显然分析力学基础系统的动能由于系数mij仅是广义座标的函数，由上式可见，在定常约束的情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数。在微振动理论中，若广