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时间:2020-11-09
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1、工程力学弯曲应力在梁两端加弯矩M,使梁产生纯弯曲变形。观察现象:1.横向线仍为直线,但相对地转过一个微小角度,仍与已弯曲成圆弧线的纵向线垂直;与轴向拉、压时变形相似。2.纵向线均弯曲成圆弧线,且靠近凸面处伸长,靠近凹面处缩短;3.在伸长区,梁宽度减小,在缩短区,梁宽度增加。bdacO2O11122MMababMcdcdM伸长缩短zyObdacO2O11122二、假设1.梁弯曲平面假设弯曲变形时:2.单向受力假设由实验现象和假设可推知:设想梁由许多层纵向纤维组成,弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或
2、单向受压状态。梁弯曲变形后,横截面仍保持为平面,并仍与已变弯后的梁轴线垂直,只是绕该截面内某轴转过一个微小角度。靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短;靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。zyObdacO2O11122bdacO2O11122MMO1O2弯曲变形时,梁横截面是绕中性轴转动的。从伸长到缩短的过程中,必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度。由变形的连续形可知:中性层:由既不伸长也不缩短的纵向纤维组成。中性轴:中性层与梁横截面的交线。O'2中性层中性轴中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴
3、。bdacO2O11122bdacO2O11122MM1.变形几何关系——正应变分布规律二、弯曲正应力一般公式取梁微段dx分析:弯曲变形后:1122O2O1dxr设中性层曲率半径为r。横截面1-1、2-2仍保持为平面,取坐标轴:y轴,z轴。y轴与截面对称轴重合;z轴与中性轴重合(位置未定)。但各自绕中性轴转过一个角度,形成一夹角,为dq;zyOdq1122MMO1O2距中性层为y处纵向纤维ab的变形:弯曲前:abO1O2==dx弯曲后:ab=(r+y)dq中性层长度不变:O1O2==dx=rdq
4、O1O2∴ab=dx=rdqab的伸长:Dab=abab–=(r+y)dq–rdq=ydqab的正应变:∴为横截面上正应变分布规律。ybabay(a)式表示:纵向纤维的正应变与其离中性层的距离y成正比。在一定的M作用下,r为常数,∴
5、y
6、,
7、e
8、。zyO1122O2O1dxdq1122MMO1O2r中性层下方,y为正值,e也为正值,表示为拉应变;baO2O11122MMdqry中性层上方,y为负值,e也为负值,表示为压应变。zyO2.物理关系——正应力分布规律纵向纤维间无相互挤压,ab单向受
9、拉(压),由s=Ee,将(a)式带入,得为横截面上正应力分布规律。式中E、r为常数,(b)式表示:横截面上某点的正应力与该点离中性层的距离y成正比。即横截面上正应力沿高度呈线性分布。中性层下方,y为正值,s也为正值,表示为拉应力;baO2O11122MMdqry中性层上方,y为负值,s也为负值,表示为压应力。zyOy=0(中性轴上),s=0;
10、y
11、max(上、下表层),
12、s
13、max。由(b)式可得s的分布规律,但因r的数值未知,中性轴的位置未确定,y无从算起,所以仍不能计算正应力,用静力学关系解
14、决。zyO3.静力学关系——确定中性轴位置及r的计算取微面积dA:(z,y)yzssdAdA上微内力:sdAM截面上所有微内力sdA组成一空间平行力系,可合成为三个内力合力:FN、My、Mz1)∫AsdA=FN∵FN=0∴∫AsdA=0(c)(b)带入(c):∵E、r不为零,∴∫AydA=0而∫AydA=Sz=yCA=0∴yC=0∴z轴(中性轴)为形心轴。即中性轴必须通过梁横截面的形心。zyOyzssdA(b)带入(e):令Iz=∫Ay2dA,称Iz为横截面对z轴的惯性矩。∴即为用曲率表示的弯曲
15、变形公式。yz2)∫AsdA·y=Mz∵Mz=M∴∫AsdA·y=M(e)横截面一定时,Iz一定。sMzyOyzssdAyz1/r为中性层弯曲变形后的曲率。∴将EIz称为梁的抗弯刚度。将上式带入(b):∴表示:梁横截面上的s与M成正比,与Iz成反比,沿截面高度呈线性分布。中性轴上:y=0,s=0;上、下表层:
16、y
17、max,
18、s
19、max。sMzyOyzssdAyz2.中性层曲率:s的方向可由梁的变形直接判定:1.中性轴位置:中性轴过截面形心;MMs(–)s(+)MMs(+)s(–)结论:3.正应
20、力公式:sM∴最大弯曲正应力∴上、下表层:y=ymax,三、最大弯曲正应力令Wz=Iz/ymax,称Wz为横截面的抗弯截面系数。2.弹性范围内,且Ec=Et1.纯弯曲:平面假设条件下;四、公式适用条件3.对称弯曲,y轴为梁横截面的纵向对称轴。∴公式、、可用于s≤sp,对称弯曲中纯弯曲时的正应力计算和中性层曲率计算。例1:悬臂梁如图示,Me=20kN·m,E=200GPa,梁用No18工字钢制成。试求梁的最大弯曲正应力和梁轴的曲率半径。解:(1)工字钢Iz、Wz(3)计算smax由附录E表4(P3
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