工程力学弯曲应力教学内容.ppt

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1、工程力学弯曲应力在梁两端加弯矩M，使梁产生纯弯曲变形。观察现象：1.横向线仍为直线，但相对地转过一个微小角度，仍与已弯曲成圆弧线的纵向线垂直；与轴向拉、压时变形相似。2.纵向线均弯曲成圆弧线，且靠近凸面处伸长，靠近凹面处缩短；3.在伸长区，梁宽度减小，在缩短区，梁宽度增加。bdacO2O11122MMababMcdcdM伸长缩短zyObdacO2O11122二、假设1.梁弯曲平面假设弯曲变形时：2.单向受力假设由实验现象和假设可推知：设想梁由许多层纵向纤维组成，弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或

2、单向受压状态。梁弯曲变形后，横截面仍保持为平面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直，只是绕该截面内某轴转过一个微小角度。靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短；靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。zyObdacO2O11122bdacO2O11122MMO1O2弯曲变形时，梁横截面是绕中性轴转动的。从伸长到缩短的过程中，必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度。由变形的连续形可知：中性层：由既不伸长也不缩短的纵向纤维组成。中性轴：中性层与梁横截面的交线。O'2中性层中性轴中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴

3、。bdacO2O11122bdacO2O11122MM1.变形几何关系——正应变分布规律二、弯曲正应力一般公式取梁微段dx分析：弯曲变形后：1122O2O1dxr设中性层曲率半径为r。横截面1-1、2-2仍保持为平面，取坐标轴：y轴，z轴。y轴与截面对称轴重合；z轴与中性轴重合(位置未定)。但各自绕中性轴转过一个角度，形成一夹角，为dq；zyOdq1122MMO1O2距中性层为y处纵向纤维ab的变形：弯曲前：abO1O2==dx弯曲后：ab=(r+y)dq中性层长度不变：O1O2==dx=rdq

4、O1O2∴ab=dx=rdqab的伸长：Dab=abab–=(r+y)dq–rdq=ydqab的正应变：∴为横截面上正应变分布规律。ybabay(a)式表示：纵向纤维的正应变与其离中性层的距离y成正比。在一定的M作用下，r为常数，∴

5、y

6、，

7、e

8、。zyO1122O2O1dxdq1122MMO1O2r中性层下方，y为正值，e也为正值，表示为拉应变；baO2O11122MMdqry中性层上方，y为负值，e也为负值，表示为压应变。zyO2.物理关系——正应力分布规律纵向纤维间无相互挤压，ab单向受

9、拉(压)，由s=Ee，将(a)式带入，得为横截面上正应力分布规律。式中E、r为常数，(b)式表示：横截面上某点的正应力与该点离中性层的距离y成正比。即横截面上正应力沿高度呈线性分布。中性层下方，y为正值，s也为正值，表示为拉应力；baO2O11122MMdqry中性层上方，y为负值，s也为负值，表示为压应力。zyOy=0(中性轴上)，s=0；

10、y

11、max(上、下表层)，

12、s

13、max。由(b)式可得s的分布规律，但因r的数值未知，中性轴的位置未确定，y无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解

14、决。zyO3.静力学关系——确定中性轴位置及r的计算取微面积dA：(z，y)yzssdAdA上微内力：sdAM截面上所有微内力sdA组成一空间平行力系，可合成为三个内力合力：FN、My、Mz1)∫AsdA=FN∵FN=0∴∫AsdA=0(c)(b)带入(c)：∵E、r不为零，∴∫AydA=0而∫AydA=Sz=yCA=0∴yC=0∴z轴(中性轴)为形心轴。即中性轴必须通过梁横截面的形心。zyOyzssdA(b)带入(e)：令Iz=∫Ay2dA，称Iz为横截面对z轴的惯性矩。∴即为用曲率表示的弯曲

15、变形公式。yz2)∫AsdA·y=Mz∵Mz=M∴∫AsdA·y=M(e)横截面一定时，Iz一定。sMzyOyzssdAyz1/r为中性层弯曲变形后的曲率。∴将EIz称为梁的抗弯刚度。将上式带入(b)：∴表示：梁横截面上的s与M成正比，与Iz成反比，沿截面高度呈线性分布。中性轴上：y=0，s=0；上、下表层：

16、y

17、max，

18、s

19、max。sMzyOyzssdAyz2.中性层曲率：s的方向可由梁的变形直接判定：1.中性轴位置：中性轴过截面形心；MMs(–)s(+)MMs(+)s(–)结论：3.正应

20、力公式：sM∴最大弯曲正应力∴上、下表层：y=ymax，三、最大弯曲正应力令Wz=Iz/ymax，称Wz为横截面的抗弯截面系数。2.弹性范围内，且Ec=Et1.纯弯曲：平面假设条件下；四、公式适用条件3.对称弯曲，y轴为梁横截面的纵向对称轴。∴公式、、可用于s≤sp，对称弯曲中纯弯曲时的正应力计算和中性层曲率计算。例1：悬臂梁如图示，Me=20kN·m，E=200GPa，梁用No18工字钢制成。试求梁的最大弯曲正应力和梁轴的曲率半径。解：(1)工字钢Iz、Wz(3)计算smax由附录E表4(P3