高考数学大一轮总复习 第2篇 第8节 函数与方程课件 理 新人教A版.ppt

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1、第8节函数与方程基础梳理1.函数的零点函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有．函数零点的存在定理图象在[a，b]上连续不断，若，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点．函数存在零点的判断方法解方程f(x)＝0利用零点存在性定理数形结合f(x)＝0实数根x轴零点f(a)f(b)<0质疑探究：当函数y＝f(x)在(a，b)内有零点时，是否一定有f(a)f(b)<0?提示：当函数y＝f(x)在(a，b)内有零点时，不一定有f(a)·f(b)<0，

2、例如：f(x)＝x2在区间(－1,1)内有零点0，却有f(－1)·f(1)>0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)A．(－2，－1)　　　B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：易知f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)

3、上有零点．故选B.答案：B答案：B3．(2014北京西城二模)已知函数f(x)＝e

4、x

5、＋

6、x

7、.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　　)A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，－1)解析：函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x单调递增，故在[0，＋∞)上函数f(x)的最小值为f(0)＝1，故函数f(x)在R上的最小值为1.若方程f(x)＝k有两个不同的实根，则k>1，故选B.答案：B4．(2014北京朝阳区一模)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在

8、区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示．直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，考点突破[例1](1)(2012年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)A．0　　　　　B

9、．1C．2D．3函数零点的个数问题[思维导引](1)根据函数的零点存在性定理和函数的单调性确定．(2)画出函数y＝f(x)，y＝kx＋k的图象，利用数形结合的方法寻找实数k满足的不等式求解．[解析](1)因为函数f(x)＝2x＋x3－2在R上是增函数，又f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以根据零点的存在定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1，故选B.判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法：(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在性定理法．判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再

10、结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)确定函数零点所在的区间在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．[例3](2014广东广州一模)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式成立的是(　　)A．f(a)

11、0，g(1)＝－1<0，g(e)＝e－1>0，所以a∈(0,1)，b∈(1，e)，即a<1