重积分应用课件.ppt

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1、若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.1。平面图形的面积由二重积分的性质，当f(x,y)=1时区域D的面积2。空间立体的体积设曲面的方程为对三重积分而言则曲顶柱体的体积为由三重积分的物理意义知空间闭区域的体积为计算由曲面解一用二重积分与xoy面所围成的立体的体积由对称性得例1解二用三重积分

2、所围成的立体的体积解一（用极坐标）解二是柱形区域，用柱坐标例2①．设曲面的方程为：如图，3。曲面的面积曲面S的面积元素②．设曲面的方程为：曲面面积公式为：③．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解曲面的方程为求半径为R的球面的表面积解曲面方程为（由对称性）例4计算圆柱面被圆柱面所截的部分的面积解由对称性可知A=8A1A1的方程例5面密度为f(x,y)的平面薄片的质量体密度为f(x,y,z)的空间体的质量4。质量5。平面薄片的重心由元素法知若薄片是均匀的，重心称为形心.解6。平面薄片的转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量解解薄片对轴上单位质点的引力

3、为引力常数7。平面薄片对质点的引力由积分区域的对称性知所求引力为解几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的应用，其实对三重积分也有实际应用问题，如体积、重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等，所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得出相关的概念，建议大家类比地写出，以加深理解。小结：1。平面图形的面积2。空间立体的体积3。曲面的面积曲面z=f(x,y)在xoy面的投影区域为D关于重积分应用4。质量积分域的元素静力矩=质点质量与质点到坐标轴（面）距离的乘积对各坐标轴（

4、面）静力矩分别平衡点的坐标平面薄片5。重心重心空间立体惯性矩=质点的质量与质点到某个轴的距离平方的乘积平面薄片空间立体6。转动惯量7。引力方向与oxyz。。在xoy内一薄片对z轴上(0,0,a)处一质点引力空间立体对空间中点(x0,y0,z0)处的质点的引力oxyz