《重积分应用》PPT课件(I)

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1、第四节重积分应用举例一、体积１．曲顶柱体的体积为：2．空间区域的体积为：利用二重积分可以计算空间立体的体积.例1求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为被圆柱面所截得的解:设由对称性可知例2求球体(含在柱面内的)立体的体积.例3求半径为R的球面:与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.Rr=2Rcos..Mrz0xy=二、曲面的面积１．设曲面的方程为：如图，曲面S的面积元素曲面面积公式为：解例求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,则所

2、求体积为例3、求x2+y2=a2与x2+z2=a2相截得立体的表面积.解例4、求球面x2+y2+z2=a2的表面积.３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得三、质心(重心)1、平面薄片的质心(重心)设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D，其面密度为(x,y)，设(x,y)在D上连续，则由得平面薄片的重心为.当薄片是均匀的，质心称为形心(或中心).解因区域D关于y轴对称，故形心在y轴上，区域D的面积回顾定积分公式为正偶数为大于1的正奇数2、空间物体的重心当物体是均匀的，重心称为形心.四、转动惯量1、平面薄片的转动惯量薄片对于x轴的转动惯

3、量薄片对于y轴的转动惯量设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D，其面密度为(x,y)，设(x,y)在D上连续，则薄片对于原点的转动惯量解如图建立坐标系：对y轴的转动惯量为：同理：对x轴的转动惯量为：解2、空间物体的转动惯量对于x轴的转动惯量：对于y轴的转动惯量：对于z轴的转动惯量：解G为引力常数物体对点处单位质点的引力五、引力1、空间物体对质点的引力解由积分区域的对称性知解由积分区域的对称性知薄片对轴上单位质点的引力G为引力常数2、平面薄片对质点的引力解由积分区域的对称性知所求引力为几何应用：立体的体积、曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物

4、理知识）六、小结思考题例3、求x+y+z=1被三坐标割线的第一卦限部分的面积.薄片关于轴对称思考题解答练习题练习题答案