重积分应用ppt课件.ppt

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1、第五节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第九章一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个的元素，记为称为所求量U，所求量的积分表达式为二、立体体积则其体积为曲顶柱体的顶为连续曲面占有空间有界域的立体的体积为解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为则立体体积为

2、把体积表达为二重积分时，被积函数是上面的边界面减去下面的边界面，积分区域是立体在xOy坐标面上的投影．解例3.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为１．设曲面的方程为：如图，三、曲面的面积.dsdAdAdsszd»，则有为截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以Ss；曲面S的面积元素曲面面积公式为：３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解2aa.L2a0xyz例4求由解解方程组得两曲面的交线为圆周0xzy.LD...a2a.

3、在平面上的投影域为四、平面薄片的重心由元素法当薄片是均匀的，重心称为形心.设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,即:采用元素法可导出其质心则得形心坐标：例5.求位于两圆和的形心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片五、平面薄片的转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量类似可得空间立体:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量对z轴的转动惯量:解解:取球心为原点,z轴为l轴,则例7.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)解薄片对轴上单位质点的引力五、平面薄片对质点的引力为引力常数解由积分区域的对称性知

4、所求引力为例9.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点几何应用：曲顶柱体的体积、曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结思考题薄片关于轴对称思考题解答练习题练习题答案