重积分的应用 ppt课件.ppt

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1、第十章重积分1一、立体的体积二、曲面的面积三、质心四、转动惯量五、引力第四节重积分的应用21.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性.从积分定义出发建立积分式.用微元分析法(元素法)，分布在有界闭域上的整体量，3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便.2.用重积分解决问题的方法3已经学过的利用重积分解决的问题1.平面区域D的面积2.曲顶柱体的体积3.平面薄片D的质量4.空间物体Ω的体积5.空间物体Ω的质量4一、立体的体积方法一用二重积分方法二用三重积分占有空间为有界域的立体的体积为：5例1解第一象限部分立体如图设其在xoy坐标面投

2、影为DDD6例2解法一用二重积分2D2演示789例2解法二用三重积分2在柱面坐标系下10二、曲面的面积用元素法11由此得到曲面S的面积元素为曲面S的面积为12若曲面的方程为：曲面面积公式为：若曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得13例3解求半径为a的球的表面积.它在xOy面上的投影区域为取上半球面方程为a14解例4由对称性知1516例5计算双曲抛物面被柱面所截解曲面在xoy面上投影为则出的面积A.17三、物体的质心设平面上有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标分别位于为为质点系的质量质点系对y轴的静矩质点系对x轴的静矩18公式,即:采用“分割,近似代替,求和,取极

3、限”可导出其质心将D分成n小块,将第k块看作质量集此质点系的在第k块上任取一点的质点,中于点质心坐标就近似该物体的质心坐标.D19令各小区域的最大直径即得当薄片是均匀的，重心称为形心.---质心坐标---形心坐标20空间立体的质心21若为均匀物体,则质心即为形心:22例6求位于两圆和的质心.解之间均匀薄片23四、物体的转动惯量质量为m的质点M对定轴l的转动惯量为l其质量分别为该质点系对x、y轴的转动惯量为设平面上有n个质点,分别位于质点系对轴l的转动惯量为各质点的转动惯量的总和，即24连续体的转动惯量可用积分计算.D薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量25空间立体的转动

4、惯量物体对于x轴的转动惯量物体对于y轴的转动惯量物体对于z轴的转动惯量26解例7x轴和y轴上，如图,设三角形的两直角边分别在27例8求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解建立坐标系如图,半圆薄片的质量28五、引力G为引力常数设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为万有引力定律同理29在上积分即得各引力分量:对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为30设物体占有空间区域,其密度函数一般地31例9设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解由对称性知引力处的单位质量质点的引力.

5、与z轴正向相反32例10求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解利用对称性知引力分量点连接33为球的质量341.几何应用2.物理应用物体对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）小结曲面的面积平面的面积立体的体积物体的转动惯量物体的质量物体的重心物体：平面薄片或空间立体35作业：P175习题10-41.2.4(2)6.9.(3)11.14.36谢谢！37