天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一下学期第一次适应性测试数学Word版含解析.docx

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2022-2023学年第二学期高一年级第一次适应性测试数学试卷一、选择题（每小题4分，共36分，每小题只有一个正确答案）.1.下列命题正确的是（）A.若，都是单位向量，则B.若向量，，则C.与非零向量共线的单位向量是唯一的D.已知为非零实数，若，则与共线【答案】D【解析】【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.【详解】单位向量的方向不一定相同，故A错误；当时，显然与不一定平行，故B错误；非零向量共线的单位向量有，故C错误；由共线定理可知，若存在非零实数，使得，则与共线，故D正确.故选：D.2.是，，，则（　　）A.12B.0C.-3D.-11【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标，然后根据向量数量积计算公式计算即可.【详解】由题可知：，所以故选：C3.已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（） A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为与共线，所以，，所以，因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：C．4.在中，已知为上一点，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，利用平面向量的加法和减法法则可得出关于、的表达式.【详解】如下图所示，.故选：D.5.在中，，则（）A.30°B.45°C.30°或150°D.60°【答案】A【解析】【分析】根据题意利用正弦定理运算求解，注意三角形的性质应用. 【详解】由正弦定理，可得，∵，则，即，∴.故选：A.6.在中，若，则是（）A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，，即，，故，故.故选：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.已知和点满足.若存在实数使得成立，则=A.2B.3C.4D.【答案】B【解析】【分析】根据得到为重心，再根据（为的中点）得到的值．【详解】由题根据，则为的重心．设点为底边的中点，则，所以，故，选B.【点睛】一般地，在中，（1）如果，则为的重心；（2）如果，则为的垂心； （3）如果（为的对边），则为的内心.8.四边形中，，，则四边形面积为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形为菱形，，再根据模长运算可得，结合菱形的性质求四边形的面积.【详解】若，则四边形为平行四边形，且，可知表示分别与同向的单位向量，若，则对角线为的角平分线，故四边形为菱形，则，故，则，∵，即，解得，故，且，则，即为等边三角形，则，且，∴四边形面积.故选：A.9.一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 ，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为，故选：C.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）10.已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且，则点C的坐标为________.【答案】(0,4)【解析】【分析】由向量的坐标表示计算即可.【详解】设C(x，y)，则.由，则x＝0，y＝4.则.故答案为：(0,4) 11.已知向量，若，则k等于________．【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可求出参数的值；【详解】解：因为所以，因为所以，解得故答案为：12.已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为__________．【答案】【解析】【详解】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ　2＋　2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.13.已知点，则向量在上的投影向量坐标为________，投影向量的模为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据平面向量的线性运算，结合投影向量及投影向量的模运算求解.【详解】由题意可得：，则，空1：向量在上的投影向量 ，故向量在上投影向量坐标为；空2：投影向量的模为.故答案为：；.14.在中，，，分别为角，，所对的边，，，则的面积为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意及正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，所以的面积为.故答案为：.15.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有________.①②③ ④在向量上的投影向量为【答案】①②④【解析】【分析】首先明确正八边形的特征，然后根据数量积的定义进行计算，可判断选项①③；根据向量的加法运算可判断选项②；根据向量投影向量的概念可判断④.【详解】图2中的正八边形中，每个边所对的圆心角皆为，其中，对于①，，故①正确；对于②，，故②正确．对于③，，，的夹角为,的夹角为，,故，故③错误．对于④，与的的夹角为，.在向量上投影向量为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得， 即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．17.已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或【解析】分析】（1）本小题先求出，再求即可；（2）本小题先求出，再求解.【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，整理得：，解得：或.【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题. 18.在中，内角所对的边长分别为，且满足.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；（2）由正弦定理得出，再由面积公式求解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，因为，所以因为为三角形的内角，所以【小问2详解】因为，，，由正弦定理可得：，所以因为为三角形的内角，所以.19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．（1）求角；（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①：根据题意边角转化得：，再求解即可；若选②：根据题意边角转化得：，再求解即可；若选③：根据题意得：，即，即，再求解即可；（2）根据题意得：，即，再利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.【小问1详解】若选①：在中，因，所以，即，由正弦定理可得，，又因为，，所以，，所以，则，若选②：中，因，所以，由正弦定理可得，，所以，又因为，所以，所以，则，若选③：在中，因为，所以， 所以，由正弦定理可得，，又因为，所以，所以，又，即，又，所以，所以，所以，又因为，所以，则，【小问2详解】因为角的平分线为，又，所以，即，即，又，所以，所以，即，故外接圆的面积，20.已知向量，，．（1）求函数的单增区间；（2）若，求的值；（3）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，求函数的范围．【答案】（1）;（2）;（3）．【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积得到的解析式，求解单调区间即可； （2）由（1）的解析式，利用，结合倍角公式求的值即可；（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．【小问1详解】，∴．由，得：，．的递增区间是．【小问2详解】．∵，∴，∴．【小问3详解】∵，由正弦定理得．∴．∴．∵．∴，∴．∵．∴．∴．∴，．又∵，∴．故函数的取值范围是．四、附加题（本题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.设坐标平面上全部向量集合为，已知由到的对应关系由确定，其中 .（1）当取值范围变化时，是否变化？试证明你的结论；（2）若，，且与垂直，求向量，的夹角.【答案】（1）的值不会随着取值范围的变化而变化，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律求出，即可得解；（2）由（1）知，，即可得到，根据数量积的运算律得到，再根据夹角公式计算可得.【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴，∴的值不会随着取值范围的变化而变化.【小问2详解】解：由（1）知，，又与垂直，∴，即，即，又，，即，解得， 设、的夹角为，则，又，∴，即向量、的夹角为.