数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数.doc

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1、§8向量,矩阵范数，矩阵的条件数一、向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此，这就需要对量空间(或矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。(一)向量范数：向量范数是中向量长度概念的推广。定义8(1)称为n维复向量空间。称为复矩阵空间。(2)设,称为x的共轭转置，称为A共轭转置矩阵。在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。定义9(向量范数)关于向量(或)的

2、某个实值非负函数，如果满足下述条件(1)正定性(2)齐次性其中(或)(3)三角不等式，称是上(或)一个向量范数(或为模)。由三角不等式可推出不等式(4)下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。定义10设(1)向量的“”范数(2)向量的“1”范数(3)向量的“2”范数(4)向量的能量范数设为对称正定阵称为向量的能量范数。定理19设(或)，则是上(或)的向量范数。证明只验证三角不等式：对任意，则利用哥西不等式：，则有定理20(范数的等价性)对任何则(1)(2)(3)证只证(1)。记于是有(a)(b)(二)向量序列的极限定义11(向量序列的极限)设有向量序列及向

3、量且记如果个数列收敛，即则称收敛于，记，或说向量序列的收敛是分量收敛到对应分量。例设有向量序列显然，有定义12(距离)设，称非负实数为之间距离，其中为向量的任何一种意义下范数。定理21设为中一向量序列，且，则是(当)其中为向量的任一范数。证明只对证明。显然有又由范数的等价性定理有：于是(三)矩阵的范数一个矩阵A可看作维向量空间中一个向量，于是由上向量“2”范数，可以引进中矩阵的一种范数。称为A的Frobenius范数。定义13(矩阵范数)关于矩阵的某个非负实值函数，如果满足下述条件：(1)正定性：(2)齐次性：(3)三角不等式：则称是上的一个矩阵范数(

4、或模)。由于在许多应用问题中，矩阵和向量是相联系的，现引进一种矩阵的算子范数。它是由向量范数诱导出来的并且这种矩阵范数和向量范数是相容的，即不等式成立。定义14(矩阵的算子范数)设且设有一种向量范数相应的定义一个矩阵的非负函数(最大比值),称为矩阵A的算子范数。定理22设是上的向量范数，则是上一个范数且满足相容条件：(1)(2)证明由定义,可知有或下面验证三角不等式：由定义由于或故定理23(矩阵范数公式)设，则(1)(称为A的行范数)(2)(称为A的列范数)(3)(称为A的“2”范数)其中为最大特征值。证明证(1)：记,于是说明，对任何向量，则有(a)

5、如果能找到一向量且使那末，定理得证。下面来寻求使比值等于，记且使于是，且由(a)式有由此，应选取为：则及或故证(3)：由于为对称半正定矩阵，则特征值为非负，即记特征值为，则有且有满足,考查比值：且，于是说明，对任何非零向量，则有另一方面，取则有故定理24(矩阵范数等价性)设，则(1);(2)定义25(矩阵的谱半径)设的特征值为，称为A的谱半径。定理25(特征值界)(1)设，则，其中为满足矩阵，向量相容性条件的矩阵范数。(2)设为对称矩阵，则。证明只证(1)。设为A的任一特征值，于是，存在使且即定理26设为矩阵的算子范数，且，则为非奇异矩阵，且有估计证明

6、1)反证法。设为奇异阵，则有非零解记为，即于是，由此，有，这与假设矛盾。2)由即得从而二、矩阵的条件数、病态方程组直接法的误差原因：1．算法及舍入原因2．方程组本身固有的问题要分析方程组的状态并估计算法的误差（原始数据扰动对解的影响）——量度：矩阵的条件数【引例】设方程组,精确解为.a=[11;11.0001];b=[2,2]';ab对右端项作微小变化(小扰动)：其中a=[11;11.0001];b=[2,2.0001]';ab显然有,【说明】右端常数项的相对误差而引起解的相对误差常数项的微小误差引起解的相对误差较大,扩大了倍,也就是说,此方程组解

7、对方程组的数据A,b非常敏感,这样的方程组就是病态方程组.设线性方程组为Ax=b…………………（1）其中A∈Rn×n,x,b∈Rn且A非奇异。x*：准确解，δx：解的误差，即…………………（2）δA--A的误差，δb--b的误差。讨论δx与δA，δb的关系(一)b有误差而A无误差情形将带有误差的右端项和带误差的解向量代入方程组，则…………………（3）由于，而得到,从而另一方面，由(1)式取范数，有可得【定理27】设A是非奇异矩阵，Ax=b≠0,且A（x*+δx）=b+δb则有误差估计式…………………（4）其中称为方阵A的条件数。说明：1、解的相对误差是

8、右端项b的相对误差的cond(A)倍2、如果条件数很大，则解的误差将成倍增长。【定义】称条件数