矩阵的范数和条件数

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1、向量的范数例1考虑下面的两个线性方程组：其解分别为：和在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利用向量与矩阵的范数的概念。定义：设X=(x1,x2,…,xn)TRn,则定义:(1)向量的2－范数：(2)向量的－范数：(3)向量的1－范数：定义设向量XRn,若X的实值函数N(X)=‖X‖,满足条件:(1)非负性:‖X‖0,且‖X‖=0的充要条件为X=0;(2)齐次性:‖kX‖=

2、k

3、‖X‖,kR；(3)三角不等式:对任意X,YRn,都有:‖X+Y‖‖X‖+‖Y‖则称N(X)=‖X‖为Rn上的向量X

4、的范数。矩阵范数和条件数定义:设矩阵ARn×n,若A的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件:(1)非负性:‖A‖0,且‖A‖=0当且仅当A=0;(2)齐次性:‖A‖=

5、

6、‖A‖,R;(3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖;(4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖.则称‖A‖为矩阵A的范数.定义：设向量XRn,矩阵ARn×n,且给定一种向量范数‖X‖p,则称为由向量范数派生的矩阵算子范数.定理：设A=(aij)n×n,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数列和的最大值行和的最大值是ATA的最大特征值，也称为谱范数矩阵范数的一些

7、性质：①②③④⑤定理：‖A‖为矩阵A的范数，则易知：证：x为A的特征向量#证毕定义：设A=(aij)n×n,的特征值为r，定义A的谱半径为：条件数和病态矩阵定义：（条件数）表示A的某种范数设，引入误差后，解引入误差，则若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。注意到因为：条件数很小条件数表示了对误差的放大率同样，类似有注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。精确解为例计算cond(A)2。A1=解：考察A的特征根3

8、9206>>1测试病态程度：给　一个扰动，其相对误差为此时精确解为2.0102>200%为对称矩阵